以“圓”為背景的取值范圍問題的幾種轉化策略

江蘇省江陰市青陽中學 (214401)

石海峰

以“圓”為背景的取值范圍問題的幾種轉化策略

江蘇省江陰市青陽中學 (214401)

石海峰

直線與圓有關的問題是江蘇高考的重點與難點.其中一類是以“圓”為背景的取值范圍問題，從筆者所帶班級(物理化學班，在年級中屬于數學成績較好的)的學生做這類題目的情況來看，學生對于這塊知識點掌握很不到位.如果教師在授課過程中，能引導學生充分利用“圓”本身圖形的特殊性，解題效果必然事半功倍.筆者針對這類問題做了一些研究，總結出以“圓”為背景的取值范圍問題的幾種轉化策略：

一、轉化為圓上點到直線的距離的最值問題

圓是最美的圖形,既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.圓上的點到直線距離的最大值為圓心到直線距離加上半徑長，當直線與圓相離時，最小值為圓心到直線距離減去半徑長；當直線與圓相交或相切時，最小值為零.因此可以根據這個性質，求圓上的點到直線距離的最大值和最小值.

例1 (江蘇省南京市、鹽城市、連云港市2017屆高三第二次模擬考試第11題)在平面直角坐標系xOy中，若直線l1:kx-y+2=0與直線l2:x+ky-2=0相交于點P，則當實數k變化時，點P到直線x-y-4=0的距離的最大值為________.

圖1

二、轉化為定點與圓上動點的距離的最值

定點與圓上的動點的距離也是有范圍的，其最大值為定點與圓心的距離加半徑長，最小值為定點與圓心的距離減半徑長的絕對值，根據圓的這個性質，如果將所求的范圍問題轉化為定點與圓上點的距離問題，問題將迎刃而解.

例2 已知實數a,b,c滿足b+c=2a，直線l:ax+by+c=0，過點P(2,3)作直線l的垂線，垂足為M，O為坐標原點，則線段OM的長度的最大值為________.

圖2

例3 (江蘇省南通市、泰州市2017屆高三第一次模擬考試第14題)在平面直角坐標系xOy中，已知B,C為圓x2+y2=4上兩點，點A(1,1)，且AB⊥AC，則線段BC的長的取值范圍為________.

圖3

例2和例3兩道題都是將所求的范圍問題轉化為一個定點到圓上動點的距離最值問題，這類題目的關鍵都是準確的求出動點的軌跡方程，可利用圓上點對直徑的張角為90°、垂徑定理等來快速求出動點的軌跡方程.

三、轉化為兩個圓上的動點間的距離的最值

兩個圓上的動點間的距離的最大值為兩圓的圓心距加上兩圓的半徑長，當兩圓相外離時，最小值為兩圓的圓心距減去兩圓的半徑長；當兩圓相交或相切時，最小值為零；當兩圓內含時，最小值為大圓半徑減去圓心距再減去小圓半徑.如果將所求的距離轉化為兩圓上兩動點間的距離，則能夠很容易求出取值范圍.

圖4

本題中兩個關鍵點：一是平面向量加法的平行四邊形法則要比較熟悉，二是涉及到圓中的弦長問題想到用垂徑定理解決.這兩個關鍵點都是學生掌握得比較好的，所以不少學生做起來比較順利.本題將向量的模長取值范圍問題轉化為兩個圓上點間的距離的最值問題，如果學生能實現這一轉化，這個取值范圍問題就很容易解決.

四、轉化為直線與圓的位置關系求最值

直線和圓的位置關系有相交、相切、相離.判斷直線和圓的位置關系通常有兩種方法：一是“判別式法”：將直線方程與圓方程聯立方程組，消元后得到關于x或y的一元二次方程，當判別式Δ>0時，直線與圓相交；當Δ=0時，直線與圓相切；當Δ<0時，直線與圓相離，二是“幾何法”：設圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，當dr時，直線和圓相離.而這兩種方法中，又以第二種方法“幾何法”運用的較多.如果確定了直線和圓的位置關系，就可以找出d和r的不等關系，通過不等關系可以找出變量的取值范圍.

五、轉化為圓和圓的位置關系求最值

圓和圓的位置關系有內含、內切、相交、外切、外離.設兩圓的圓心分別為O1,O2，兩圓的半徑為r1,r2，則當O1O2<|r1-r2|時，兩圓內含；當O1O2=|r1-r2|時，兩圓內切；當|r1-r2||r1+r2|時，兩圓外離.因此，如果能將已知條件轉化為圓和圓的位置關系，則可找到不等式，求出參數的范圍.

例6 (江蘇省2013年高考第17題第(2)問)在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y=2x-4.設圓C的半徑為1，圓心在l上.若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.

六、轉化為其它不等關系找出取值范圍

例7 (江蘇省連云港市、宿遷市、徐州市2017屆高三第三次模擬考試第13題)在平面直角坐標系xOy中，圓C:(x+2)2+(y-m)2=3.若圓C存在以G為中心的弦AB，且AB=2GO，則實數m的取值范圍是________.

本題得分率僅有13.6%.很多學生看了這道題就直接放棄，不知從哪里可求出范圍，筆者從以下兩種思路來分析本題：

圖5

本題可以通過二元二次方程表示圓(或點)的條件、借助臨界情況(相切)時找出不等關系，求出參數的范圍.

處理參數的取值范圍問題關鍵是找到合理的不等關系.如果能充分運用軌跡思想，利用圖形(如“圓”)的特殊性，通過數形結合，找出跟參數有關的不等式，則可簡化運算.教師在授課過程中要多與學生探討、研究，找出問題解決的突破口，尋求問題解決的等價條件，尋找最簡捷的途徑解決，并養成及時總結的習慣，讓學生做一題通一類，從“題海”中解放出來.