運用波利亞解題觀求解2017高考導數壓軸題例析

廣州大學數學與信息科學學院 (510006)

許天來 廖運章

運用波利亞解題觀求解2017高考導數壓軸題例析

廣州大學數學與信息科學學院 (510006)

許天來 廖運章

求參數取值范圍的問題是高考導數壓軸題中的常見題型，在近年高考題中幾乎都有涉及，如2017年全國卷Ⅰ理科21題、2016年全國卷Ⅰ理科21題、2015年北京卷理科18題等，難度較大.因此，求解此類問題如何獲得解題思路顯得非常重要.我們發現，運用著名數學家喬治·波利亞的解題觀可以得償所愿.波利亞是數學問題解決研究中的標志性人物，他提出了解決問題的四個步驟——弄清問題、擬定計劃、實現計劃、回顧，是解決數學問題的關鍵程序.[1]下面，我們將結合一道2017高考數學題，闡述如何運用波利亞解題觀求解高考導數壓軸題.

問題(2017年全國卷Ⅰ理科21)已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x．(1)討論f(x)的單調性；(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍．

1.弄清問題

“未知數是什么？已知數據是什么？條件是什么？”.

未知數是參數a的取值范圍，已知數據為函數f(x)有兩個零點.這是一道有關超越函數的函數問題，涉及函數的單調性、零點、參變量的取值范圍等多個問題.僅高中水平而言，一般的處理方法是結合導數進行求解，我們可以通過研究函數f(x)的性質如單調性等，討論f(x)恰有2個零點時a的取值范圍；另一方面，函數f(x)有2個零點，等價于方程f(x)=0有兩個不同的解，于是我們就可以將方程f(x)=0進行變形并分離出變量a，再通過觀察函數的交點進行求解.

2.擬定計劃

“你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？”

我們聯想到2016年全國卷Ⅰ理科導數綜合題第一小問，其題目為“已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.求a的取值范圍”.可以看出，這兩道題非常相似，而2016年的高考題可以通過研究參數的各種取值范圍下函數的單調性、極值等性質，判斷其是否滿足條件，從而使問題得到解決.因此，對參數的范圍進行討論是一種解決問題的計劃.

“觀察未知數！試想出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題；如果需要的話，你能不能改變未知數或數據？或者二者都改變，以使未知數和新數據彼此更接近？”

3.實現計劃

3.1 分類討論法

輔助圖解：創建滾動條a并進行拖動，由圖1-2易知，當a≤0時，f(x)至多有一個零點；由圖3可以看出，當00時，f(x)無零點.

將一些重要的設備，如各種服務器、核心換機、路由器等盡量實行集中管理。各種通信線路盡量實行深埋、穿線或架空，并有明顯標記，防止無意損壞。對于終端設備，如工作站、集線器和其他轉接設備要落實到人，進行嚴格管理。

值得注意的是，在拉動變量尺的過程中，若a為無理數或小數位較多的小數，則僅能得到其近似的取值，這時按“ctrl+鼠標上滑按鈕”放大函數圖像，得到更為精確的觀察.盡管運用Geogebra得到的答案并非完全精確，但可通過改變參數值觀察函數的動態圖像，保證分類討論的完整性.

數學解析：(1)當a≤0時，f(x)在R上單調遞減；當a>0時，f(x)在(-∞，lna)上單調遞減，在(lna，+∞)上單調遞增.過程略.

3.2 分離變量法

輔助圖解：分別輸入“p=a(e^x+1)”和“q=2+x/(e^x)”得到圖6-10.

小結：分離變量法可通過研究不含有參數的函數的圖像性質求解問題，借助導數等方法，這是學生較為熟悉的方式，是一種通性通法.對比分類討論的方法，學生在掌握了這種方法后，也許能更好地遷移到其他類似的題目中.

4.回顧

“你能否用別的方法導出這個結果？”

拉動滾動條，由圖11和圖12易知，當a≤0時，m(x)與n(x)的函數圖像至多有一個交點，f(x)至多有一個零點；由圖13可以看出，當01時，m(x)與n(x)的函數圖像無交點，f(x)無零點.因此，a的取值范圍為(0,1).

“你能不能把這個結果或方法用于其他的問題？”

可以看出，“分類討論”的解題方法通過分析參數的各種取值范圍下函數的單調性、極值等性質，判斷其是否滿足條件從而求解問題，可以適用于所有求參數的取值范圍的高考導數壓軸題的求解.而當參數較好分離時，可以采用“參數分離”的解題方式，將研究含參函數的問題轉化為研究確定函數的性質的問題.如2016年全國卷I理科21題、2015年北京卷理科18題、2011年全國卷理科21題、2010年全國卷理科21題等均可使用“參數分離”方法進行求解.

綜上所述，運用波利亞的四個解題步驟求解問題的思路非常清晰.首先，必須弄清問題，了解未知數和已知數據；第二，找出已知數和未知數之間的聯系，如若找不到直接的聯系，則考慮輔助問題并最終得到一個求解的計劃；第三，實現計劃；第四，驗算所得到的解.實際上，解題的各種技巧種目繁多，在教學中很難顧全.因此，應注重波利亞的解題觀域的教學，它可以啟發學生的解題思路，是一種通性通法.在學生掌握了解題的方向后，可通過研究函數的大致圖像對問題進行解決.當然，若一時不能通過數學方法得到函數的大致圖像，可以先借助geogebra等數學軟件作出函數圖像，輔助求解問題.其實，geogebra等數學軟件的畫圖操作并不復雜，可以在較短的時間內掌握，學生若能花一定的時間進行掌握，必能達到事半功倍的效果.

[1]波利亞. 怎樣解題[M].科學出版社，1982.