圓錐曲線一個統一性質的推廣
——兼談一個無效的證明

福建省莆田第五中學 (351100)

陳燕花

圓錐曲線一個統一性質的推廣
——兼談一個無效的證明

福建省莆田第五中學 (351100)

陳燕花

文[1]由一道福州市質檢試題得到了關于橢圓、雙曲線、拋物線的各兩個結論，即結論1-6，最后統一為關于圓錐曲線的一個性質，即定理1、定理2.讀后頗受啟發，但也發現有兩點值得提出，一是關于橢圓的結論2的“證明”是無效證明，二是上述這些結論和定理可以進一步推廣到更一般的情形.下面對此進行探究.

先把文[1]的結論1、2抄錄如下：

注：文[1]是2016年度福建省基礎教育課程教學研究課題《全國卷背景下數學高考高效復習方式的探究與研究》(編號MJYKT2016-194)的階段性研究成果.

一、結論2的“證明”是無效證明

顯然，上述“證明”是把結論“點Q與Q′關于x軸對稱”當作條件來證明已知條件“P,F,Q三點共線”， 進而無端得出結論“點Q與Q′關于x軸對稱”，陷入了“循環論證”的怪圈 ，這一證明是無效的！這里所證明的“P,F,Q三點共線”顯然是多此一舉，因為“過點F的直線m(m與x軸不重合)交橢圓Γ于P,Q兩點”這一條件不就是“P,F,Q三點共線”嗎？況且由“P,F,Q三點共線”并不能直接得出“點Q與Q′關于x軸對稱”. 文[1]作為省級研究課題的階段性研究成果，不應出現這種失誤.

二、結論2的“證明”的“副產品”

這就是結論2的“證明”的“副產品”.同樣，不妨把文[1]關于雙曲線的結論3、4分別記為結論2.1、2.3，關于拋物線的結論5、6分別記為結論3.1、3.3，關于圓錐曲線的定理1、2分別記為定理1、3，類似地，可得

結論3.2 拋物線Γ：線y2=2px(p>0)的焦點、準線分別為F、l，直線l與x軸的交點為R，點P,Q在拋物線Γ上且在x軸的異側，直線RP與拋物線Γ的另一交點為Q′，若點Q與Q′關于x軸對稱，則P,F,Q三點共線.

定理2 圓錐曲線Γ的焦點和對應準線分別為F、l，直線l與曲線Γ的對稱軸a的交點為R，點P,Q在曲線Γ上且在a的異側，直線RP與曲線Γ的另一交點為Q′，若點Q與Q′關于a對稱，則P,F,Q三點共線.

下面利用結論1.2證明結論1.3(即文[1]的結論2)

證明:設點Q1與Q′關于x軸對稱，因為橢圓Γ關于x軸對稱，所以點Q1也在橢圓Γ上，據結論1.2，得P,F,Q1三點共線，即點Q1在直線PF上.又由已知條件知點Q在直線PF上且在橢圓Γ上，則Q1與Q同為直線PF與橢圓Γ除點P以外的另一交點，故點Q1與Q重合，再由點Q1與Q′關于x軸對稱，得點Q與Q′關于x軸對稱.證畢.

三、結論的推廣

上述結論和定理揭示了圓錐曲線的焦點與準線的關聯性質，這些性質能否推廣到“類焦點”與“類準線”情形？

設直線PQ方程為x=my+n(m≠0,0<|n|

類似地，可得

利用結論1.2的推廣，可得

其證明與上述利用結論1.2證明結論1.3(即文[1]的結論2)的證明類似，這里從略.

特別地，當n=-c時，上述三個推廣依次為結論1.1、1.2、1.3.

這樣，定理1(即文[1]的定理1)、2、3(即文[1]的定理2)可分別推廣為

定理Ⅰ 圓錐曲線Γ的“類焦點”和“類準線”分別為E，l，直線l與曲線Γ的對稱軸a的交點為R，過點E且與直線a不重合的直線與曲線Γ交于P，Q兩點，點Q關于a的對稱點為Q′，則R，P，Q′三點共線.

定理Ⅱ 圓錐曲線Γ的“類焦點”和“類準線”分別為E、l，直線l與曲線Γ的對稱軸a的交點為R，點P,Q在曲線Γ上且在a的異側，直線RP與曲線Γ的另一交點為Q′，若點Q與Q′關于a對稱，則P,F,Q三點共線.

定理Ⅲ 圓錐曲線Γ的“類焦點”和“類準線”分別為E，l，直線l與曲線Γ的對稱軸a的交點為R，過點E且與直線a不重合的直線與曲線Γ交于P，Q兩點，直線PR與曲線Γ的另一個交點為Q′ ， 則點Q，Q′關于a對稱.

至此，我們完成了對文[1]的結論和定理的推廣.

[1]張兵源，林運來.數學美驅動數學發現[J].福建中學數學，2017(2)：6-8.