多維剖析“探”思路，多重深挖“究”拓展
——對一道2017年圓錐曲線高考題的探究與拓展

安徽省阜陽市第三中學 (236000) 凡勝富安徽省阜陽市潁泉小學 (236000)

蔣 娟

多維剖析“探”思路，多重深挖“究”拓展
——對一道2017年圓錐曲線高考題的探究與拓展

安徽省阜陽市第三中學 (236000) 凡勝富安徽省阜陽市潁泉小學 (236000)

蔣 娟

一、題目呈現

(2017年全國新課標Ⅰ卷理10)已知F為拋物線C：y2=4x的交點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為( ).

A．16B．14C．12D．10

二、解法賞析

此題屬解析幾何中經常考查的熱點題型(最值問題)，其解題的方法體現了解析幾何解決問題的通性通法，主要考查拋物線的定義，焦點弦以及基本不等式的應用，意在考查學生分析問題、解決問題的能力以及運算求解能力.

評注:考查最值問題時易想到用函數方法和基本不等式進行解決.故設出直線方程，聯立方程組，借助韋達定理來表示出弦長，使用基本不等式即可求出最小值.

圖1

評注:對于拋物線過焦點的弦長問題，應聯想拋物線的定義，把到焦點的距離轉化到準線的距離，利用幾何圖形的特征進行求解.

評注:由于直線AB過焦點，所以可設AB參數式方程，為表示AB長度帶來簡便，把最值問題轉化為三角函數問題，再利用三角函數的有界性易求出最值.

三、拓展研究

進一步研究，筆者發現上述結論可以推導到圓錐曲線中：

由于雙曲線不封閉有兩條漸近線，所以直線與其有兩交點，對斜率有一定要求，所以這個結論有所不同，篇幅有限，這里不再證明.

由于圖形中AB⊥CD這一幾何特征，可繼續研究四邊形ACBD的面積.不難發現：

上述結論也可以推導到圓錐曲線中去：

推論2 過拋物線E：y2=2px焦點F作兩條互相垂直的直線l1,l2，直線l1與E交于A,B兩點，直線l2與E交于C,D兩點，則四邊形ACBD面積的最小值為8p2，無最大值.

同樣，這個結論也可以繼續推導得出以下結果：

當(b2-a2k2)(b2k2-a2)<0時，則

四、結束語

圓錐曲線中有著許多完美的性質，當今一些高考題往往也以此為背景命制試題來考查學生的思維、運算能力，這就需要我們在平時的學習中，對問題多思考一點，對結論多探究和延伸一點，就會發現題目背后隱藏的知識本源，既培養了思維能力，又提升了解題效率，何樂而不為呢.

[1]吳海飛.橢圓中正交焦點弦相關性質在高考中的應用[J].數學教學通訊，2013(3).

[2]胡云浩.2015年全國新課標Ⅰ卷理科第20題的深度探究[J].中學數學(上)，2015(10).

[3]徐永強.對一道圓錐曲線問題的探究與拓展[J].中學數學，2016(9).