兩道高考橢圓試題的完美融合

福建省龍巖第一中學 (364000)

劉曉生 胡寅年

兩道高考橢圓試題的完美融合

福建省龍巖第一中學 (364000)

劉曉生 胡寅年

圓錐曲線的幾何性質深刻地揭示了圓錐曲線的本質特征，是圓錐曲線簡單幾何性質的進一步發展．而圓錐曲線幾何性質的證明，又能很好地體現解析幾何的思想與方法．因此，以圓錐曲線幾何性質為背景的問題系列常常成為歷年高考試題的熱點．比如，2009年遼寧卷第20題(以下簡稱題1)，2017年全國卷一第20題(以下簡稱題2)就分別從兩個方面深刻揭示了橢圓的一個整體性質(直線族、直線束；定向、定點問題)．

(1)求橢圓C的方程；

(2)E、F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數．證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值．

(1)求C的方程；

(2)設直線l不經過P2點且與C相交于A,B兩點. 若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

下面我們將其引申為橢圓乃至圓錐曲線統一的具有豐富內涵的幾何性質，它們互為補充，完美融合．

②由于kPA+kPB=t(t≠0)，

②由于kPA+kPB=t(t≠0)，

定理3 已知P(x0,y0)是拋物線Γ:y2=2px(p>0)上的一個定點，A、B是拋物線Γ上異于點P的兩個動點．

證明：設A(x1,y1)，B(x2,y2)，令x′=x-x0，y′=y-y0，則y2=2px變為了(y′+y0)2=2p(x′+x0)，∴y′2+2y0y′-2px′+y20-2px0=0，由于y20-2px0=0，∴y′2+2y0y′-2px′=0.

[1]李金寬.圓錐曲線的定點弦性質[J].數學通報，2002.12.

[2]胡寅年.一道橢圓試題的解析與引申[J].數學通訊，2016.11.