“鴛鴦繡成憑君看,要把金針度與人”
——圓錐曲線“e2-1”結論探究與應用

浙江省杭州市富陽區新登中學 (311404)

楊志芳

“鴛鴦繡成憑君看,要把金針度與人”
——圓錐曲線“e2-1”結論探究與應用

浙江省杭州市富陽區新登中學 (311404)

楊志芳

總有一些經歷讓人難以忘懷，總有一些情結讓人常常牽掛.平時教學中，一些優美的結論的探究和應用總使人終身難忘，如“e2-1”雖然不少教師都已談過，但筆者還是對“她”情有獨鐘.

1.緣起

問題2 (2015年新課標Ⅱ卷20)已知橢圓C:9x2+y2=m2(m>0),直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A,B，線段AB的中點為M.

(1)證明直線OM的斜率與l的斜率乘積為定值；

(2)略.

2.探究

課本例題(問題1)講完了，不少老師完結了事，筆者覺得很可惜，因為課本的例題往往有豐富的內涵，不少高考題、統考題是源于課本(如問題2就是問題1的一種改編)，或多或少可以找到它的影子，是高考命題的依據和源泉，研究挖掘課本經典題是教與學的生長點，合理使用和改編課本題，可以提高課堂效率，激活學生思維的火花，提高學生數學核心素養.所以可以對問題1進行以下探究①k1·k2的值是隨便給定的嗎？其逆命題是否成立？②如果橢圓上異于頂點的任意點與頂點相連，連線的斜率乘積是否是定值？③如果不是頂點情況如何？與離心率什么關系？⑤雙曲線情況如何？……

進一步探究，若A,B兩點是橢圓上關于原點對稱的兩點，P是橢圓上異于A,B的任意一點，于是我們可以得到以下性質：

圖1

圖2

略證：設A′是A關于原點的對稱點，連BA′，則BA′∥OM，由性質2知，kBA′·kBA=e2-1，即kOM·kBA=e2-1.

所以問題2就是它的一個特例.

圖3

然而，這結論其實是圓的一些結論拓展，有時作一個仿射變換，可將橢圓的問題轉化為圓的問題來解決，同樣我們也可將圓的有關性質通過類比、拓展得到橢圓或其他圓錐曲線的有關性質.如e2-1這一性質就是圓性質的一個拓展.如橢圓的kPA·kPB=e2-1是圓中PA⊥PB，kPA·kPB=-1的一個拓展，kAB·kOM=e2-1是圓的垂徑定理的拓展.同樣橢圓kOP·k切線=e2-1是圓的切線性質kOP·k切線=-1的一個拓展(如圖4，圖5).

圖4

圖5

3.應用

平時解題過程中如能運用“e2-1”結論，有時可以快速求解，達到小題快做巧做的目的，解決解答題時，作為中間結論，用來突破難點，非常有效，下面以浙江高考題為例，作一例析.

3.1 運用“e2-1”結論巧求離心率

圖6

這兩種解法均可以，但有一定的計算量，但如能利用kAB·kOM=e2-1，使人眼前一亮，且方法簡捷，運算簡便，特別對選擇填空題有很好的借鑒作用.

圖7

圖8

3.2 運用“e2-1”結論巧求范圍問題

圖9

(1)求實數m的取值范圍；(2)求ΔAOB面積的最大值.

(1)求直線y=kx+1被橢圓截得的弦長(用a,k表示)；

(2)若任意以A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有三個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.

解：(1)略;

(2)(高考參考答案)假設圓與橢圓的公共點有4個，由對稱性可設y軸左側的橢圓上有兩個不同的點Ρ，Q，滿足|ΑΡ|=|ΑQ|．記直線ΑΡ，ΑQ的斜率分別為k1，k2，且k1，k2>0，k1≠k2．

圖10

3.3 運用“e2-1”結論巧解最值問題

(1)求橢圓C的方程；

(2)求ΔABP面積取最大值時直線l的方程.

圖11

總之，我們在教學中精選典型問題，引導學生積極思考，主動建構，總結解題規律，除了展示完美的解題過程和優美的結論外，更應該告訴他們學習的方法，探究的方法，授之以漁，“鴛鴦繡成憑君看,更把金針度與人”.

[1]沈良.圓錐曲線的一個優美結論[J].數學通迅,2013(5).

[2]王明飛.與橢圓雙曲線的離心率有關的一些結論及其應用[J].數學教學通迅,2006(11).

[3]蘇立標.高考的情結與復習的情懷(杭州市2017年高三復習會議).