一道高考數學選擇題的變式拓廣

浙江省金華市第六中學 (321000)

虞 懿

一道高考數學選擇題的變式拓廣

浙江省金華市第六中學 (321000)

虞 懿

每年高考都會留下一份十分寶貴的資源——數學高考試卷，其中許多試題內涵豐富、立意新穎、視角獨特，彰顯著數學永恒的魅力，也為我們的學習和探究提供了廣闊的平臺. 2013年全國大綱卷(理)第11題就是難得的優質高考試題，本文對此題進行了探究和變式拓廣，得到了幾個好的結果，與大家分享.

一、題目回放

二、一般推廣

性質1 已知拋物線C:y2=2px,點M在其準線上，過拋物線焦點F的直線l與C交于A、B兩點，若MA⊥MB,則MF⊥AB.

若直線l的斜率不存在，當MA⊥MB,易證MF⊥AB.

三、變式拓廣

一道好的試題往往是命題者研究成果的結晶，在一個背景下，交換部分條件和結論，或給出某個問題一般結論的特例，便生成出一道新題，又能挑戰你的思維．筆者結合對相關題目的研究，又做了如下探究：

性質2 已知拋物線C:y2=2px,點M在其準線上，過拋物線焦點F的直線與C交于A、B兩點，若MF⊥AB,則MA⊥MB.(證明仿上)

性質3 已知拋物線C:y2=2px,點M在其準線上，直線l與C交于A、B兩點，與x軸交于F點，若MF⊥AB且MA⊥MB,證明：點F為定點．

若直線l的斜率存在，由題意可設直線l的方程為y=k(x-xF)(k≠0).

綜上，點F為定點．

性質5 已知拋物線C:y2=2px的焦點為F，點M在其準線上，直線l與C交于A、B兩點，與x軸正半軸相交，若MA⊥MB且MF⊥AB,則A,F,B三點共線．

若直線l的斜率不存在，易證A,F,B三點共線．

若直線l的斜率存在，由題意可設直線l的方程為y=kx+m(k≠0).

上述結論對橢圓、雙曲線是否成立呢？留給有興趣的讀者去探究．

四、體會淺說

通過以上的探究過程，筆者感悟到對于任何問題都要多思、多想、多問為什么，這樣數學會因思考而更加精彩，一道優秀的試題是要經過多思善想，這樣才會有驚喜和收獲．在學習中要學會用抽象、類比和變式去研究數學問題，更重要的是可以提升數學品質和數學素養，既需要大膽的猜想和細心的求證，還需要堅定的意志和靈活的變通，所以說，只有多思、多想、多變，才會有創新、發現和收獲．