探究圓中一道最值問題*

北京市第十二中學 (100071)

劉 剛 鄭拴平

探究圓中一道最值問題*

北京市第十二中學 (100071)

劉 剛 鄭拴平

泰州市2017屆高三數學第一次調研考試中有這樣一道試題：在平面直角坐標系xOy中，已知B，C為圓x2+y2=4上兩點，點A(1,1)，且AB⊥AC，則線段BC長的取值范圍為________．

試題以圓為背景，考查了線段最值問題．該題得分率極低，從做對的學生看，基本上是借助圖形，直觀猜想過點A的直線與BC垂直時，線段BC有最大值和最小值，且分布在點A的兩側．經過了解，大多數學生都有解題思路，但在中間計算環節上被卡住了．作為填空最后一道，試題起到了壓軸的作用．下面，給出該題的三種解法，供大家參考．

點評:坐標法是解決解析幾何問題的首選，在得出m2-k2+km-m-1=0后，如何建立d關于k的關系是卡住學生的重要原因，這一環節有一定的技巧，要結合代數式的特點靈活變形．另外，在解答過程中還要對直線BC的斜率是否存在進行討論，尤其是斜率不存在時千萬不要忽略．

解法2:(參數法)設B(2cosα,2sinα)，

解法3:(數形結合法)先考慮BC最長的情況．如圖1，過點O作AB，AC的垂線，垂足分別為M，N，連接OA，OB，OC，則四邊形OMAN是矩形，|OA|2=2．設|OM|=d1，|ON|=d2，則d1+d2=2，

圖1

通過對本題的進一步探究，發現線段BC長的取值范圍僅與點A到圓心O的距離和圓的半徑有關，所以有如下結論．

注:過點A的直線與BC垂直時，線段BC有最大值和最小值．

探究至此，遠未結束，感興趣的讀者還可以研究ΔABC的面積及周長等最值問題．在解題過程中，希望同學們要學會觀察、聯想，遇到困難不退縮，敢于挑戰，這樣自己的能力才會得到不斷提升，學習才會其樂無窮．

[1]劉剛，趙毅．一道以圓為背景的高三聯考試題的探究歷程[J]．中學數學研究(江西)，2016，10．

[2]劉剛，趙毅．一道高考模擬試題的探究[J]．中學數學研究(江西)，2016，11．

*本文系北京市豐臺區“十三五”重點課題《新課程背景下高中數學競賽教學研究》(課題批準號：2016237-J)階段成果之一．