奇思妙想巧運(yùn)算
——學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)的實(shí)踐與思考

江西省南昌市東湖區(qū)教研中心 (330008)

周 蓉

奇思妙想巧運(yùn)算
——學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)培養(yǎng)的實(shí)踐與思考

江西省南昌市東湖區(qū)教研中心 (330008)

周 蓉

“奇思妙想巧運(yùn)算”是南昌市第八屆園丁杯初中數(shù)學(xué)指定課題.在談?wù)摻逃⒌聵淙耍囵B(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)如火如荼的今天，選擇一個(gè)這樣的比賽課題既基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》中的十個(gè)核心概念“數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識”的數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)意義，也對接高中課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組按照內(nèi)涵、價(jià)值和表現(xiàn)的框架提出的六條數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象、數(shù)據(jù)分析”培養(yǎng)目標(biāo).那么怎樣踐行“數(shù)學(xué)運(yùn)算”，如何在中學(xué)起始年級培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)運(yùn)算”核心素養(yǎng)，怎樣在數(shù)值運(yùn)算、代數(shù)運(yùn)算中讓學(xué)生體會“數(shù)學(xué)運(yùn)算”是滿足學(xué)生終身發(fā)展和社會發(fā)展所必備的、關(guān)鍵的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，如何扣緊課題在運(yùn)算中體現(xiàn)“奇思妙想”和“巧”的價(jià)值是這節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn).經(jīng)過研究、思考，筆者把巧定位在了追求算理算法之巧——不盲目運(yùn)算，培養(yǎng)觀察的角度，研究運(yùn)算的合理性，尋找一般性方法，培養(yǎng)學(xué)生的一般性能力.

一、教學(xué)回顧(擇其過程略講)

1.情境引入，激發(fā)思考

教師用動畫片形式《大雄的煩惱》設(shè)計(jì)了大雄在運(yùn)算中遇到的困惑，感受到有理數(shù)巧運(yùn)算思維的艱難，并形成數(shù)學(xué)思考，引入課題，引導(dǎo)學(xué)生思考“機(jī)器貓”倒序相加方法巧的探尋方式和運(yùn)算奧妙.

設(shè)計(jì)意圖：倒序相加是高中數(shù)列求和的內(nèi)容，本節(jié)課設(shè)計(jì)這個(gè)引入立意不是讓學(xué)生用“高級”的運(yùn)算方法去解決初中可能遇到的問題，而是讓學(xué)生體驗(yàn)運(yùn)算中蘊(yùn)含的“數(shù)感”，在發(fā)展數(shù)感的基礎(chǔ)上夯實(shí)運(yùn)算能力.

2.實(shí)踐探索，感悟提升

體驗(yàn)一：列舉一些課本已學(xué)經(jīng)驗(yàn)中的巧運(yùn)算，看誰算的又快又準(zhǔn).其中方法主要有湊整、分類、運(yùn)用加法、乘法公式等.

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程.在這組題中，學(xué)生實(shí)際經(jīng)歷理解(運(yùn)算對象)、掌握(運(yùn)算法則)、選擇(運(yùn)算方法)、計(jì)算(運(yùn)算結(jié)果)等步驟.學(xué)生的速度和準(zhǔn)確度區(qū)別就是運(yùn)算能力的高下區(qū)別，個(gè)體在思考問題時(shí)在數(shù)學(xué)方面的自覺意識或思維習(xí)慣反映出學(xué)生的數(shù)學(xué)意識.

體驗(yàn)二：未知情況下尋巧之路的行與思.

例1 計(jì)算：15+196+1997+19998+199999.

變式：計(jì)算0.9+0.99+0.999+0.9999.

例4 計(jì)算2+22+23+…+2100.

設(shè)計(jì)意圖：《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2016試行稿)》中提出：數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段.在學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)過程中，題目只是個(gè)載體，它承載的是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感、數(shù)學(xué)意識的發(fā)展作用.學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，它包括數(shù)的意識，如對數(shù)的意義的理解；用數(shù)進(jìn)行交流；算法的選擇；數(shù)值的估算與解釋等.從這些有規(guī)律的數(shù)字運(yùn)算中引發(fā)“奇思妙想”，體會巧需要發(fā)現(xiàn)和建構(gòu)，讓學(xué)生在轉(zhuǎn)化中漸悟其巧.運(yùn)算的轉(zhuǎn)化是從復(fù)雜的運(yùn)算背景向簡明的運(yùn)算結(jié)果推理逼近的一個(gè)過程.

3.課堂小結(jié)，課外延伸

師生共同歸納得出奇思妙想尋巧之路的“腦電圖”可以總結(jié)為：觀察問題的特征；喚醒已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)；構(gòu)思巧算的策略；沉淀學(xué)習(xí)的積累.

教師分三個(gè)層面布置課外作業(yè)：

放飛性作業(yè)：推薦兩本課外閱讀書：《數(shù)學(xué).啟迪智慧》，張國棟.中國文史出版社；《奇思妙想學(xué)數(shù)學(xué)》，格雷斯.馬卡羅內(nèi).外語教學(xué)與研究出版社.

設(shè)計(jì)意圖：給學(xué)生創(chuàng)造直觀思維的機(jī)會，給學(xué)生的“悟”留有充分的時(shí)間和空間.課堂的小結(jié)是方法的提煉，而學(xué)生真正運(yùn)算能力的提高還需要其它各方面數(shù)學(xué)能力的共同提高.“放飛性”作業(yè)的布置就是基于此想.

二、課例特點(diǎn)分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)解讀》中關(guān)于運(yùn)算能力有這樣的解讀：根據(jù)一定的數(shù)學(xué)概念、法則和定理，由一些已知的量得到確定結(jié)果的過程，稱為運(yùn)算.能夠按照一定的程序和步驟進(jìn)行運(yùn)算，稱為運(yùn)算技能.不但會根據(jù)法則、公式等正確地進(jìn)行運(yùn)算，而且理解運(yùn)算的算理，能夠根據(jù)題目條件尋求正確的運(yùn)算途徑，稱為運(yùn)算能力.本節(jié)課上，運(yùn)算能力的培養(yǎng)體現(xiàn)在師生一系列的分析運(yùn)算條件，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，確定運(yùn)算程序，包括在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算以及實(shí)施運(yùn)算和計(jì)算的技能培養(yǎng)方面.

筆者給出的第二組例題，教學(xué)中不是在教學(xué)生尋找特殊運(yùn)算的技巧，因?yàn)檫@種技巧在計(jì)算機(jī)時(shí)代屬于小境界小視野.而是強(qiáng)調(diào)觀察，在普遍性的數(shù)字中，不盲目運(yùn)算，(通過觀察)探尋合理的運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算程序、調(diào)整運(yùn)算策略，從方法考慮運(yùn)算的合理性、一般性.當(dāng)然，運(yùn)算設(shè)計(jì)上還是有不足，比如例1中的加數(shù)依次比10的倍數(shù)少5、4、3、2、1，思維導(dǎo)向的痕跡太重，生活實(shí)踐中幾乎是不存在這樣的數(shù)的.我們應(yīng)該理解任何一個(gè)數(shù)都可以分成兩部分：主體部分、次要部分，寫成(a+b)的形式，數(shù)學(xué)中的巧不是數(shù)字之巧而是思維之巧.而例4的學(xué)習(xí)過程，這是最難構(gòu)造的一道題，這道題和高中的數(shù)列知識相銜接，從知識的角度和方法的教學(xué)看是一道好題，這道題需要老師放慢一些.而放慢則時(shí)間不足，快則成了操練，在同課異構(gòu)“有理數(shù)的巧運(yùn)算”中，我們多看到的是思維太少，操練太多.從中西教學(xué)此題比較來看，美國嫌太慢，中國則太快.這道題真正自己發(fā)現(xiàn)、想到方法是一個(gè)很難的過程，需要足夠長的時(shí)間，中國孩子多是學(xué)過，而不是發(fā)現(xiàn).在這類題上，知識和技能可教，真正自己觀察、尋找到方法卻是非常之難.而教學(xué)中我們要培養(yǎng)什么？方法背后的思維！養(yǎng)成觀察方法，研究算的合理性，從一般的方法中去選擇.我們常說理解數(shù)學(xué)知識的三重境界是“知其然，知其所以然，何由以知其所以然”——啟發(fā)學(xué)生，示以思維之道耳！

三、運(yùn)算能力與其它數(shù)學(xué)素養(yǎng)的融合

學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)是一個(gè)綜合培養(yǎng)的過程，運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)我們還能走得更遠(yuǎn)嗎？能.以例4舉例，我們借助數(shù)學(xué)圖形，建立數(shù)學(xué)模型，用邏輯推理的方法進(jìn)行思考，給出變式練習(xí).

圖1

實(shí)驗(yàn)操作過程：取一張正方形紙片，設(shè)它的面積為1.

第3次折疊，把上次折疊圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，……；

圖2

從解析的過程看，數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化起了關(guān)鍵的作用.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”.在數(shù)學(xué)中，數(shù)和形是兩個(gè)最主要的研究對象，在一定條件下，數(shù)和形之間可以相互轉(zhuǎn)化，相互滲透.

從最廣泛的意義上來理解數(shù)學(xué)的話，它就是研究兩個(gè)問題：數(shù)和形.數(shù)與形是數(shù)學(xué)大廈最深處的兩塊奠基石，它們之間有著十分密切的聯(lián)系，全部數(shù)學(xué)都是圍繞數(shù)和形的提煉、演變、發(fā)展而展開的.兩者在內(nèi)容上互相交叉，在方法上相互滲透、補(bǔ)充、并在一定條件下互相轉(zhuǎn)化，這兩種形式的轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)中叫做數(shù)形結(jié)合.在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形互相轉(zhuǎn)化的觀念、意識具有重要的意義.

四、結(jié)束語

運(yùn)算能力的培養(yǎng)從來都不是一朝一夕的.我們不指望用一節(jié)課去培養(yǎng)學(xué)生的一種能力，但我們希望能用一節(jié)課去培養(yǎng)學(xué)生一種選擇運(yùn)算方法的能力的意識.優(yōu)秀學(xué)生的“會運(yùn)算”是因?yàn)樗麄兡芡ㄟ^觀察問題的特點(diǎn)，迅速抓住問題的本質(zhì)，產(chǎn)生聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑或者選擇最優(yōu)的解題方案.筆者在本課時(shí)資源上設(shè)置不同類型的巧，就是希望有不同的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生經(jīng)歷這種觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證的活動，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法.