對一個常見數列不等式的探究與推廣

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(岳西中學,安徽 安慶 246600)

對一個常見數列不等式的探究與推廣

●儲百六

(岳西中學,安徽 安慶 246600)

文章通過對一個常見數列不等式的分析、證明、推廣、尋根，指出一種解決與數列前n項積有關不等式的通用方法，該方法既能證明不等式，又能發現不等式.

不等式；前n項積估界；沃爾斯不等式

1 試題呈現

一天課間，一名學生來問筆者如下一道常見的數列不等式題:

例1求證：對一切正整數n，有

2 問題提出

該不等式曾多次在高考中出現過，證法很多，可以用數列單調性、數學歸納法、構造對偶式等等，難度也不大.再一次看到該問題時，不禁想到：

1)這個不等式從何而來？

3)可能得到一個類似的下界？

3 問題的探究與推廣

命題1對一切正整數n，有

分析式(1)的證明不難，關鍵是如何得到，下面來探討式(1)是如何得到的.

一方面，設待定參數λ使其滿足

即

解得

另一方面，設參數μ使其滿足

即

解得

證明從第二項開始放縮.一方面，由

可得

故對一切正整數n，有

故對一切正整數n,有

綜上所述，對一切正整數n，有

且當λ的取值越大，所得結果越強.特別地當λ=0時，即可得到例1的結論：

且當μ的取值越小，所得結果越強.

進一步，我們還可以將式(1)推廣為：

命題2已知k≥1，則對一切正整數n，有

分析式(2)的證明不難，關鍵是如何得到，下面來說明式(2)是如何得到的.

一方面，設待定參數λ使其滿足

即

解得

另一方面，設參數μ使其滿足

即

解得

證明方法同命題1，此處略.

注：當k=4時，式(2)即為式(1).

類比式(2)還可得到：

命題3已知k≥2，則對一切正整數n，有

(3)

分析式(3)的證明不難，關鍵是如何得到，下面來說明式(3)是如何得到的.

一方面，設待定參數λ使其滿足

即

解得

另一方面，設參數μ使其滿足

即

解得

證明方法同命題1，此處略.

注：當k=4時，式(3)即為如下式(4).

例2對一切正整數n，有

式(4)為數學通報2 146號問題的加強.

4 總結與反思

讀者可自行探究.

2)本文中待定參數λ，與列方程解應用題中的x有類似的作用，體現了方程思想在解決問題中的強大作用.

3)對于式(1)和式(4)的由來，筆者查閱一些資料認為，該問題應該來自沃爾斯公式的一個推導，結果為：

這里要用到定積分的知識，利用初等的方法不知可否做出，期待大家共同探討.

[1] 單墫.我怎樣解題[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學，2013：24-26.

[2] 常庚哲,史濟懷.數學分析教程[M].合肥：中國科學技術大學，2012:309.

2017-10-14

儲百六(1984-)，男，安徽岳西人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O122.3

A

1003-6407(2017)12-23-03