微型探究揭本質 深度學習促素養
——一節習題研究課的教學活動及課后調研和思考

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(儀征中學,江蘇 儀征 211400)

微型探究揭本質深度學習促素養
——一節習題研究課的教學活動及課后調研和思考

●花奎

(儀征中學,江蘇 儀征 211400)

如何提升習題研究課的有效性？可以通過探究錯因，尋求正解；反思觀察，優化方法；無疑生疑，揭示本質；總結應用，形成經驗等教學流程進行教學.通過課后調研發現開展微型探究應做到以下幾點：基于學生基礎，把學生的思維作為解題教學的起點；基于對話交流，利用元認知提問驅動學生學習的動機；基于質疑反思，通過微型探究揭示數學本質.這樣做能夠促進學生深度學習，提升學生的思維層次和數學素養.

習題課；微型探究；深度學習；素養

習題是數學知識的載體，是數學思想方法的生長點，蘊涵著巨大的教育潛能.特別是在數學高考總復習中，習題研究課更為常見，如何提升習題研究課的有效性，一直是筆者思考的問題.近日，在江蘇省揚州市領雁工程培養對象匯報課展示活動中，筆者聽了一節高三習題研究課，是對一道習題的糾錯探究教學，給筆者留下了深刻的印象.

1 教學片段實錄

1.1 探究錯因，尋求正解

題目設函數f(x)=ax3-3x+2(其中a∈R)，若對于任意的x∈[-2,2]都有f(x)≥0成立，則實數a=______.

師：這是近日數學測試卷中的一道填空題，同學們的正確率不高，只有50%.這節課，我們就來研究這道題，希望有所收獲.

教師投影生1的解題思路:

由題意知f′(x)=3ax2-3，令f′(x)=0得

師：這部分的解答過程有問題嗎？如何糾正？大家討論一下.

(教師給學生6分鐘左右的思考時間.)

生3(解法1)：我認為應當分類討論.

1)當a≤0時，f′(x)<0，此時f(x)在[-2,2]上單調遞減，從而

f(x)min=f(2)=8a-4≥0，

2)當a>0時，令f′(x)=0,得

f(x)min=f(2)=8a-4≥0，

因此要使f(x)≥0在[-2,2]上恒成立，則

綜上所述，a=1.

師：太好了！生3的解法將不等式f(x)≥0恒成立問題轉化為最值問題，即f(x)min≥0，然后通過分類討論來求f(x)min.分類討論要求我們具備清晰的思維，逐一解決.大家再想想看，除了直接研究函數f(x)的最小值這種解題思路，不等式f(x)≥0恒成立問題還可以用什么方法來解決？

生4：參變量分離.

教師展示生4的解法：

f(x)≥0可化為ax3≥3x-2，即

從而g(x)在(-2,1)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減，于是

g(x)max=g(1)=1，

故a≥1.

師：大家思考一下，生4的做法有錯嗎？錯在哪里呢？

生4:老師，我知道錯在哪里了！我沒討論：因為x∈[-2,2]，需分x=0,0

師：生4自我反思和自我批評的精神值得我們學習！為什么要分類討論呢？

生4：不等式ax3≥3x-2兩邊同除以x3，要考慮不等號的方向是否改變，即要考慮x3的正負性，而x的正負性不確定，因此要對x進行討論.

師：說得很好，那么你能說說完整的解法嗎？

生4(解法2)：f(x)≥0恒成立，可化為ax3≥3x-2恒成立.

從而g(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減，于是

g(x)max=g(1)=1，

故a≥1.

從而g(x)在[-2,0)上單調遞增，于是

g(x)min=g(-2)=1，

故a≤1.

綜上所述，a=1.

師：有問題嗎？

(生4疑惑地表示沒有.)

生5：少討論了x=0的情況，應添加第3種情況，即“3)當x=0時，不論a取何值，f(x)≥0恒成立”.

師：很好！分類討論是一種常見的數學思想方法，要做到不重復不遺漏，這需要我們頑強的毅力和清晰的思維.現在，大家再回頭思考一下這兩種方法，是怎么想到分類討論的？又是怎樣討論的？討論的依據是什么？

(教師給大家5分鐘左右的題后反思總結.)

1.2 反思觀察，優化方法

通過學生展示補充，形成以下認知網絡：

圖1

師：分類討論是一種重要的數學思想方法，我們應當掌握.如此復雜的分類討論，一不小心就會出錯.那么，有沒有其他方法來減少討論，甚至避免分類討論呢？

(一石激起千層浪，眾生頓時嘰嘰喳喳地討論起來.)

生6：代入兩個端點值，可以縮小a的范圍？

師：哦，這是你們不會做時經常用的絕招，你繼續說說看.

(全班學生大笑.)

生6：f(x)≥0對x∈[-2,2]恒成立，則當x=±2時，f(x)≥0成立，即

生(眾)：只有一種！

(學生們異口同聲，驚嘆這種方法的精彩！)

師：好！請嘗試書寫完整的解題過程.

生7：因為f(x)≥0對x∈[-2,2]恒成立，所以

令f′(x)=3ax2-3=0，得

要使f(x)≥0在[-2,2]恒成立，則

師：通過該方法的學習，以后解題時我們可以利用“特殊值效應”(即恒成立的必要條件)將參數的范圍縮小，以減少分類討論.

生8(迫不急待)：老師，我的方法更簡單！

師：你說說看！同學們也來聽聽，看有何新發現？

(生8話音剛落，雷鳴般的掌聲響了起來……)

1.3 無疑生疑，揭示本質

師(示意大家安靜)：生8的做法太巧妙了，通過取特殊值夾逼出參數a的值.同學們做完這道題后有沒有什么困惑？

在學生以為大功告成的時候，筆者又拋出一個新的問題，于無疑處生疑.學生們七嘴八舌，最后綜合提出兩個困惑：1)生8的做法很巧，特別是取x=1，夾逼出參數a的值，這是偶然還是必然呢？2)不等式恒成立問題一般都是求參數的范圍，而不是求參數的值，為什么這里的參數a是一個具體值？學生們小聲地交流著意見，但還是說不出所以然.

生9(過了一會兒)：能否從圖像的角度去看呢？

師：生9提出了很好的“念頭”，華羅庚教授也說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，大家是否可以從形的角度來理解一下呢？

(學生們似乎明白，紛紛在下面進行嘗試.)

生10：ax3-3x+2≥0對任意的x∈[-2,2]恒成立，等價于ax3>3x-2恒成立，從形的角度可以理解為函數y=ax3的圖像恒在直線y=3x-2的上方.

師：直線y=3x-2是確定的，函數y=ax3的圖像怎么畫呢？

圖2

生11：當a≤0時，函數y=ax3(其中x∈[-2,2])的圖像不可能恒在直線y=3x-2的上方.當a>0時，過端點(-2,-8)的函數y=ax3中參數a=1，而且通過計算發現y=x3的圖像恰好與直線y=3x-2相切于點(1,1).要使y=ax3的圖像在第一象限恒在直線y=3x-2上方,則a≥1,要使y=ax3的圖像在第三象限恒在直線y=3x-2上方，則a≤1,故a=1.

(教師在學生講解過程中，用幾何畫板演示圖像的變化情況，便于學生直觀理解.)

師：我們從形的角度理解了生8做法中所取的x=1正好是y=ax3的圖像與直線y=3x-2的切點，夾逼出參數a的值是必然的.為什么這里的參數a是一個具體值呢？這個題目特殊在哪里呢？

生12：這道題特殊在過端點(-2,-8)的函數y=x3恰好與直線y=3x-2相切.如果不相切的話，就應該是范圍.

師：很好！你通過圖像從形的角度完美地解釋了a為定值的原因.那么，你能不能改編一下這道題，使得a的值是一個區間范圍？

生12：只要將直線方程改一下，讓它還經過點(-2,-8)，改變斜率(斜率小于3)就可以了，譬如將斜率改為2，直線方程為y=2x-4，當a>0時，不等式變為ax3≥2x-4，即函數的解析式變成了f(x)=ax3-2x+4.

師：非常好！讓我們為她的精彩改編鼓掌！

1.4 總結應用，形成經驗

師：通過這道題的學習，對于不等式恒成立求參數問題一般解決的策略是什么？請同學們嘗試對圖1中的認知網絡圖進行補充.

并引導學生補充完整圖1中的認知網絡(如圖3所示)：

圖3

教師投影練習題：

1)設函數f(x)=ax3-3x+1(其中a∈R)，若對于任意的x∈[-1,1]都有f(x)≥0成立，則實數a=______.

2)設函數f(x)=(ax2+x)ex(其中a∈R)，其中e是自然對數的底數，若函數f(x)在x∈[-1,1]上是單調增函數，求實數a的取值范圍.

3)設函數f(x)=(m-3)x3+9x，若f(x)在區間[1,2]上的最大值為4，求m的值.

上述3個練習讓學生當堂完成.教師通過課堂觀察到：學生完成情況較好，正確率較高.

2 課后訪談與調查

筆者聽了這節習題講評課，覺得這是一節難得的好課，因此很想了解教師對這節課的設計意圖和教后體會，也想了解學生通過本節課的學習感受.于是對教師進行訪談，并對學生進行問卷調查.

2.1 與教師的訪談交流

筆者：您這節課是一節習題研究課，為什么會選用這道題？

師：1)這道題是我們最近高三數學測試題上的一道填空題，其實是2008年江蘇省數學高考第14題的改編，考查的知識和數學思想方法很豐富，學生有必要理解和掌握.2)從測試反饋來看，正確率不高.課前我讓每位學生在紙上寫下考試時的解題思路.經過批閱，發現大多數同學選擇直接研究函數f(x)的最值，但由于需要對a進行分類討論，過程復雜，有不少同學出現錯誤或放棄；也有一部分同學選擇先參變量分離再求最值，但由于還需要對x進行分類討論，正確率也不高；只有個別同學利用“特殊值效應”將參數的范圍縮小，再繼續做.針對學生的答題情況，我覺得選用這道題來研究是有必要的.

筆者：您的教學活動的設計意圖是什么？

師：1)暴露學生的錯誤觀點及學生在解題過程中的思維障礙，通過學生獨立思考與合作交流，掌握不等式恒成立求參數范圍(或值)的問題的方法，特別是利用“特殊值效應”縮小參數的范圍減少分類的方法.2)通過這樣的研究課，培養學生的反思、質疑意識和發現問題的能力，做一個會思考的人.

筆者：通過這節課的教學，您有何體會？

師：這節課學生的學習活動有兩處超出了我的預設，這是課前沒想到的：1)生8的解法直接通過取特殊值將參數a的值夾逼出來；2)“同學們做完這道題后有沒有什么困惑？”只是平時上課的習慣性一問，卻問出了兩個值得去探究的問題，又得到了數形結合的方法.

筆者：您認為教學效果如何？

師：我個人認為實現了教學目標，又有新的生成，學生通過不斷探究揭示了數學本質，從課堂嘗試練習來看，學生完成還是不錯的，個人對本節課比較滿意.教學效果究竟如何？還要由學生來評價.

2.2 對學生的調研分析

為了便于對學生進行調研，筆者設計了如表1所示的問卷，發放給上課班級的學生，共發放48份，收回有效問卷45份.

表1 學生調查問卷

經統計分析表1中的這6個問題，選A的比例分別為93%，84%，84%，98%，100%，93%，可以看出學生喜歡這樣的課堂：不僅是有收獲的，而且是被尊重的.如此學生自己的想法才能得到充分展示.

3 聽課及訪談調研后的思考

筆者聽了這節課及課后進行訪談調查，心里無比激動.筆者一直思考的問題“如何提升習題研究課的有效性？”，這節課無疑作了一個示范.

3.1 基于學生基礎，把學生的思維作為解題教學的起點

不少教師出于某些功利性目的的需求，習題教學就是向學生講解一道又一道的題目，介紹一種又一種的解題方法，不關心學生的思維障礙在哪里，無視學生的基礎和感受，這種教學助長了學生思維的被動性，學生往往只會記下這道題目的正確答案，卻很少在課后追問為什么，因而他們記錄的正確答案實際上淪為一個個毫無意義的符號.如何提升習題課的有效性？應從學生的基礎出發，基于學生的認知規律，把學生的思維作為解題教學的起點，因勢利導進行教學.正如案例中的教師在課前詳細批閱了學生的解答過程，了解到學生的主要思路和存在的典型問題，以此作為本節課教學的起點，在課堂上暴露學生的錯誤觀點及思維障礙，尊重學生的思維，順其自然地幫助學生[1]，引導學生獨立思考與合作探究，使學生理解掌握了不等式恒成立求參數范圍(或值)的問題的方法，特別是利用“特殊值效應”縮小參數范圍減少分類的方法.

3.2 基于對話交流，利用元認知提問驅動學生學習的動機

伊列雷斯教授認為動機維度是學習中的一種重要和不可或缺的要素，它以動機、情緒、態度和意志模式出現，至少與學習的內容和結果同等重要.動機常常會是一個“認知不協調”問題，即一個人經歷的事物是與他的觀念相沖突的.而“認知不協調”問題常產生于問題驅動[2].本案例中，教師在學生思維“最近發展區”倡導思維風暴，通過“這部分的解答過程有問題嗎？如何糾正？”“這一思路該如何完善呢？”“不等式f(x)≥0恒成立問題還可以用什么方法來解決？”“生4的做法有錯嗎？錯在哪里呢？”“為什么要討論呢？”“你能說說完整的解法嗎？”“是怎么想到分類討論的？又是怎樣討論的？討論的依據是什么？”“有沒有方法來減少討論，甚至避免分類討論呢？”“有沒有什么困惑？”“你能不能改編一下這道題，使得a的值是個范圍？”等一系列元認知提問，引發認知沖突，激發探究學習的動機，讓學生在獨立思考的基礎上合作交流，使學生自行解決“思維障礙”，提煉了“不等式恒成立求參數值(范圍)”的常見思想方法，完善了學生的認知結構，而且學生認識到教師是真誠地對大量的想法和回答感興趣，學生增加了學習數學的幸福感，有利于學習動機的激發與持續.

3.3 基于質疑反思，通過微型探究揭示數學本質

啟發性質疑是質疑教學的基本特征.通過給學生一個啟發提示語或問題，引導學生反思自己的數學活動經驗，從而促使學生自己進行探究，并把通過探究重新獲得的新認識說出來，讓原有的思維經驗獲得新的生命力.本案例中教師不斷通過問題引導學生質疑和反思，自然生成了一個個源于學生的“念頭”，并進行有效地探究，特別是在學生得到了題目的正確解答后，并沒有到此結束，而是于無疑處生疑，“迫使”學生提出了兩個困惑，激發學生的憤悱之情，自覺開展微型探究，促進了學生的深度學習.從形的角度來思考問題，不僅完美地詮釋了答案，揭示了數學的本質，更進一步提升了學生的思維層次和數學素養.

[1] 伊列雷斯.我們如何學習——全視角學習理論[M].孫玫璐,譯.北京：教育科學出版社，2010.

[2] 波利亞.怎樣解題——數學教學法的新面貌[M].涂泓，馮承天,譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?002.

2017-10-10

江蘇省教育科學“十二五”規劃課題(B-b201502285)；江蘇省教育科學“十三五”規劃課題(D/2016/02/244)

花 奎(1972-)，男，江蘇儀征人，江蘇省特級教師.研究方向：數學教育.

O122.1

A

1003-6407(2017)12-04-05