基于ISM法繪制概念圖進行數學概念教學

●

(首都師范大學教育科學學院，北京 100048)

基于ISM法繪制概念圖進行數學概念教學

●曹月

(首都師范大學教育科學學院，北京 100048)

概念圖被譽為21世紀教育新模式的信息技術與腦科學，在數學概念教學中有著重要作用.ISM法可以科學地計算出每個概念在概念圖中所處的層級，運用ISM法繪制概念圖能夠有效地解決概念圖設計過程出現的一些問題.文章將ISM法與概念圖的設計流程進行整合，按照ISM法繪制概念圖的步驟，以平面向量基本概念內容為例設計概念圖，并對此內容的教學提出了3條建議.

ISM法；概念圖；數學概念教學；平面向量

數學概念在數學教與學中有著重要的地位，可以說整個數學體系都是建立在數學概念的基礎之上.數學概念是數學學習的起點，是進行數學推理的依據，是建立數學定理、法則、公式的基礎[1].因此，數學概念學習是學生牢固掌握和靈活運用數學知識解決問題的基礎，對學生的數學學習有著重要的影響.基于此，教師在教學中要采取有效的教學策略引發學生思考、促進學生思維的發展，幫助學生深刻把握這些概念的本質.關于概念教學的可操作性研究成果有APOS理論模型、概念圖指導概念教學與概念同化等模式.其中概念圖被譽為21世紀教育新模式的信息技術和腦科學[2]，筆者以人教A版《數學(必修4)》第2.1節“平面向量的實際背景及基本概念”為例，就概念圖指導概念教學中存在的問題以及如何有效地發揮概念圖的功能進行教學分析.

1 運用概念圖進行數學概念教學

概念圖是由美國康奈爾大學的諾瓦克教授等人在19世紀60年代提出來的一種用來組織和表征知識的工具，它可以將有關某一主題的不同層級的概念置于方框中，用線條將相關概念進行連接，在線條附近標注連接詞以表明概念之間是如何聯系的.概念圖可以將學生頭腦中現有的認知結構以一種可視化的形式清晰地呈現出來，教師可以借此了解學生對相關知識的掌握情況，從而調整自己的教學內容使學生建構科學完整的知識網絡.

概念圖是由諾瓦克教授根據奧蘇貝爾的概念同化理論而開發的一種認知工具，它是為了解決“在教學過程中學生能夠按步驟完成相應的任務，但是不能給出合理原因”這一問題，從而將機械學習轉化為有意義學習，豐富、發展了奧蘇貝爾的概念同化理論.概念圖可以將知識進行高度濃縮，學生在制作概念圖的過程中，可以弄清楚新概念和原有概念之間的關聯程度，促進學生積極思考，發展學生的概念性理解，激勵學生主動建構概念網絡；另外在制作概念圖的過程中學生可以明白哪些概念是不清晰的、哪些是完全理解的，從而使模糊的概念變得清晰，培養學生的元認知和自主性.此外，學生運用概念圖進行數學學習還可以培養其猜想、推理等數學思維能力，概念圖教學對學生的數學學習有著重要的現實意義.

概念性理解是數學教育的重要目標.數學概念之間具有聯系性，任一數學概念都由若干數學概念聯系而成；只有建立數學概念之間的聯系，才能透徹理解數學概念[3].數學概念教學最終要使學生掌握數學概念的本質屬性，有效的概念教學應該能夠幫助學生將新學概念與認知結構中已有的概念聯系起來[4]，建構概念體系.概念圖不僅可以對某一概念進行解釋，還可以將零散的數學概念系統化、結構化，建立概念之間的聯系，使之成為聯系的整體.因此，概念圖在概念教學中有著重要的作用.

2 基于ISM法繪制概念圖進行概念教學

ISM(Interpretive Structural Modeling)法又稱解釋結構模型，是由美國Bottene研究所為研究復雜的社會問題而開發的一種方法[5].它可以將社會系統中復雜的問題分為許多子問題，利用人們的直覺經驗結合計算機軟件系統地確定這些子問題的順序，進而將這些子問題組織成一個邏輯嚴密的結構模型，它也可以將復雜的要素分解成清晰的層次結構，在許多方面有著廣泛的應用.目前，ISM法已成為較為成熟的教材設計、分析以及課程編排輔助手段.

概念圖對于概念教學有著重要的現實意義，許多研究者已經設計了實驗，運用實證研究的方法證明了概念圖對于數學教學的作用.但是概念圖的制作并沒有嚴格統一規范的程序，往往是基于個人經驗的主觀判斷，缺乏客觀數據的支持，這樣就會導致一些問題，比如概念層級出錯，概念網絡復雜，難以發揮其圖式表征的優勢.而ISM法可以利用計算機軟件較科學地計算出每個概念在概念圖中所處的層級，因此，本研究擬使用ISM法指導概念圖的制作，完善概念圖制作過程中存在的問題.

運用ISM法制作概念圖的步驟如下：1)選取某一主題；2)抽取核心概念并編號；3)確定概念間的形成關系；4)繪制概念圖；5)評價、完善概念圖.運用ISM法制作概念圖與運用ISM法繪制層級有向圖進行教材分析的步驟類似，只是在繪制出層級有向圖的基礎上，需要在兩個概念的連線旁用文字添加它們之間的關系，我們把用文字清晰地注明兩個概念之間關系的層級有向圖叫做概念圖.平面向量包含許多核心概念，它是高中數學重要和基本的概念之一.有學者曾將概念圖策略用于數學新授課、復習課、探究課等不同課型中.因此，本研究將以平面向量基本概念內容為例，運用ISM法進行“基于概念圖的平面向量”一節的新授課教學設計.

3 運用ISM法設計平面向量內容的概念圖

現以“平面向量實際背景及基本概念”內容為例，就上述步驟進行詳細地分析.

3.1 選取某一主題

教師需要根據教學內容的特點選擇恰當的教學策略.一般來說，概念圖教學策略適合于概念性知識的講解.因此，教師可以選擇概念性知識比較多的某一節課，或者圍繞某一主題在新授課、復習課等課型中運用概念圖指導教學.

例如，“平面向量實際背景及基本概念”是平面向量第一節的內容，作為平面向量這一單元的起始課，本節課包含很多數學概念，這些概念是向量知識體系的基礎，對其他知識的學習起著奠基性作用.

3.2 抽取核心概念并編號

數學概念最重要的特征就是它們都能被容納在結構組織良好的概念體系當中，在一個概念體系中，有些概念處于核心的地位，其他概念與它有著密切的聯系，或由它形成，我們把這些概念成為核心概念[6].從學科的角度看，核心數學概念一般具有以下特征：在數學相關領域中處于基礎地位，能承上啟下，與其他知識有廣泛的聯系.可見，核心數學概念具有一般概念所不具備的基礎性和生長性.因此，對于核心數學概念的教學必須實現從工具性理解到關系性理解的過程，樹立整體觀.

根據以上對核心數學概念的定義，抽取的平面向量一節的核心概念如下：H1向量，H2有向線段，H3起點，H4方向，H5長度，H6零向量，H7單位向量，H8平行向量，H9相等向量，H10共線向量.

3.3 確定概念間的形成關系

針對抽取出的核心概念確定概念間的形成關系.一般來說，如果在定義某個概念時用到了它的下位概念，如果缺少下位概念，那么這個概念就無法定義，我們就說這兩個概念具有形成關系.利用這種方法，依次判斷以上選取的核心概念間是否具有形成關系.如果兩個概念間具有形成關系，則上位概念在上，下位概念在下，二者之間用帶有箭頭的直線連接，且箭頭指向上位概念.

根據概念間形成關系的定義，以上10個核心數學概念間的形成關系如圖1所示：

圖1

3.4 制作層級有向圖

制作概念間的層級有向圖，需要根據核心要素間的形成關系求出可達矩陣，再由可達矩陣分析每個要素所處的層級位置并制作層級有向圖.具體過程如下：首先，將要素間的形成關系圖表示為雙向細目表的形式(表中的每個元素只能是0或1：0表示兩個概念間不具有直接關系，也就是兩個概念之間沒有用箭頭連接；如果兩個概念具有直接關系則用數字1表示)；其次，將雙向細目表表示成鄰接矩陣，并通過MATLAB軟件編程將鄰接矩陣轉換成可達矩陣；最后，根據可達矩陣求出每個要素所處的層級，并由每個要素所處的層級從低層級到高層級逐步制作要素層級有向圖如圖2所示：

圖2

3.5 繪制概念圖

根據每個概念所處的層級排列每個核心概念，再把具有形成關系的概念用一條帶有箭頭的直線連接，并在直線旁輔以連接詞表示概念之間的關系，連接詞要簡明、準確，同時也要便于學生理解.根據以上繪制的概念間的層級結構，制作概念圖.教師還可以根據教材內容，對于概念間除形成關系以外的其他關系進行適當補充以完善概念圖的設計，繪制好的概念圖如圖3所示:

圖3

3.6 評價、反思概念圖

繪制的概念圖能否準確地反映概念間的上下位邏輯關系，是否便于教師教學和學生理解建構，教師需要對此進行評價、反思，必要時還可進行適當地修改.

4 教學建議

作為平面向量一章的章節起始課及概念型課，教師在教學中需要把握以下幾點：

4.1 借助生活實例，揭示向量豐富的實際背景

概念的獲得一般有兩種方式——概念形成和概念同化.這兩種方式各有特點：前者側重于從感性材料上升到表象，再經過抽象、歸納、概括出概念的本質特征，據此明確相應的外延；而后者則多從已有的數學概念出發，運用概念限制或概念概括的方法，分析推演出所概括的數學概念的本質特征[7].向量具有豐富的實際背景，在現實生活中隨處可見像位移、速度、力等既有大小又有方向的量，向量就是從這些實際背景中抽象出來的概念.因此，教師在進行教學時可通過借助大量的實例讓學生感受到“既有大小又有方向”的量是客觀存在的，引導學生抽象歸納出研究對象的本質特征，形成“向量”這一概念.當學生認識向量概念之后，教師可進一步提問如何表示這一概念，教師可給學生提供充分思考討論的空間并給予適當地引導，借此引入有向線段的概念.

4.2 基于學生原有認知結構，滲透類比思想

奧蘇貝爾將學習分為有意義學習和機械學習.他認為有意義學習是指學習者能夠將所學知識與頭腦中原有的認知結構聯系起來的學習方式.本節課的內容與學生已有的知識具有很大的關聯性，數量與向量、0與零向量、1與單位向量、平行線與平行向量等知識相互聯系.因此，對于零向量、單位向量、平行向量概念的教學，教師可以用數量加方向來刻畫向量，使學生認識到兩者的區別，明確向量的本質(大小和方向).用實數中的特殊數0與1和幾何中的平行線類比得到零向量與單位向量、平行向量的概念.學生已有的知識可作為新知識的生長點，運用類比的思想進行思考，激活學生原有的認知結構，自然而然地得出新概念.

4.3 構建概念網絡，促進概念理解

概念圖不論是對于教師的教學還是學生的自主學習都有著重要的指導作用.教師可以根據每個概念在概念圖中所處的層級向學生講解概念，也可以將繪制好的概念圖呈現給學生，幫助學生理清概念間的上下位邏輯關系，準確地建構知識網絡.教師在引導學生形成概念后，可以在總結環節將繪制好的概念圖呈現給學生，引導學生用聯系的觀點看待數學概念，深化對概念本質的理解，構建自己的認知網絡.

[1] 奚定華.數學教學設計[M].上海：華東師范大學出版社,2001.

[2] 王兄,湯服成.概念圖及其在數學學習中的現實意義[J].數學教育學報,2004,13(3)：16-18.

[3] 李善良.論概念聯系與概念網絡在數學概念學習中的作用[J].課程·教材·教法,2005,25(7):53-58.

[4] 崔靈靈.概念圖在小學數學概念教學中的應用研究[D].開封：河南大學,2014.

[5] 傅德榮,章慧敏,劉清堂.教育信息處理[M].北京：北京師范大學出版社,2011.

[6] 邵光華,章建躍.數學概念的分類、特征及其教學探討[J].課程·教材·教法,2009,29(7):47-51.

[7] 徐文斌.數學概念的認識及其教學設計與課堂教學[J].課程·教材·教法,2010,30(10):39-44.

2017-10-28

曹 月(1994-)，女，山西晉中人，碩士研究生.研究方向：數學教育.

O1-0

A

1003-6407(2017)12-01-03