高中數(shù)學(xué)排列組合解題方法探究

閆子琪

【摘要】在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，排列組合因?yàn)槠渚哂泻?jiǎn)單的表達(dá)方式，同時(shí)具有較強(qiáng)的靈活性，因此在高中數(shù)學(xué)當(dāng)中是非常重要的學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)。就近年來(lái)的高考試題來(lái)看，不管是從選擇題上，還是填空題上，或是解答題上，排列組合都占有了較高的分值。所以，對(duì)于我們學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，一定要重視排列組合方面內(nèi)容的掌握。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；排列組合；解題技巧；原則

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）12-0268-02

排列組合問(wèn)題聯(lián)系實(shí)際生動(dòng)有趣，但題型多樣，思路靈活，是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題。解決排列組合問(wèn)題，首先要認(rèn)真審題，弄清楚是排列問(wèn)題、組合問(wèn)題還是排列與組合綜合問(wèn)題；其次要抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，采用合理恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)處理。因此，在平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)教給學(xué)生排列組合的解題方法，使我們領(lǐng)會(huì)到排列組合解題的趣味性，提高學(xué)習(xí)興趣，并在不知不覺(jué)中掌握解題技巧。

一、遵循的原則

1.認(rèn)真、仔細(xì)、不遺漏的原則

因?yàn)榕帕泻徒M合問(wèn)題具有大的相似性，所以不少同學(xué)在進(jìn)行解題時(shí)很容易將兩者弄混，同時(shí)因?yàn)橐鉀Q這兩種問(wèn)題，所需要的思路是顯然不同的，所以一旦錯(cuò)誤就會(huì)造成明顯的錯(cuò)誤后果。因此，在審題時(shí)一定要認(rèn)真、仔細(xì)、不遺漏，要對(duì)題目究竟是組合問(wèn)題，還是排列問(wèn)題多花些時(shí)間來(lái)進(jìn)行判斷。只有先把題目審清楚，才可以通過(guò)正確的解題思路來(lái)進(jìn)行解題。比如，當(dāng)遇到不同元素的性質(zhì)時(shí)需要對(duì)其進(jìn)行分類(lèi)，當(dāng)遇到事件問(wèn)題需要對(duì)其進(jìn)行分步，只有把這兩樣標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行統(tǒng)一起來(lái)，才可能不出現(xiàn)遺漏和重復(fù)的問(wèn)題。

2.整體、全面進(jìn)行分析的原則

從排列組合問(wèn)題來(lái)看，其中通常會(huì)有很多的限制條件，同時(shí)還會(huì)有先后順序問(wèn)題，這些都使得問(wèn)題解決的難度加大，因此在對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行分析時(shí)，必須遵循一定的思維邏輯，沒(méi)有邏輯的進(jìn)行思考只能讓頭緒越來(lái)越亂。此外，在不影響題目意思的情況下，還應(yīng)該具有將問(wèn)題進(jìn)行分解的能力，把復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行分解，使其可以簡(jiǎn)化，這樣有助于我們更加容易的找出解題的關(guān)鍵。

二、常用的基本方法

1.間接法

即部分符合條件排除法，采用正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)換的策略。為求完成某件事的方法種數(shù)，如果我們分步考慮時(shí)，會(huì)出現(xiàn)某一步的方法種數(shù)不確定或計(jì)數(shù)有重復(fù)，就要考慮用分類(lèi)法，分類(lèi)法是解決復(fù)雜問(wèn)題的有效手段，而當(dāng)正面分類(lèi)情況種數(shù)較多時(shí)，則就考慮用間接法計(jì)數(shù)。

例1：從6名男生，5名女生中任選4人參加競(jìng)賽，要求男女至少各1名，有多少種不同的選法？

A.240 B.310 C.720 D.1080 正確答案：B

解析：此題從正面考慮的話情況比較多，如果采用間接法，男女至少各一人的反面就是分別只選男生或者女生，這樣就可以變化成C（11，4）-C（6，4）-C（5，4）=310。

2.特殊優(yōu)先法

特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮。位置分析法和元素分析法是解決排列組合問(wèn)題最常用也是最基本的方法，若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其它元素。若以位置分析為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其它位置。若有多個(gè)約束條件，往往是考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)還要兼顧其它條件。

例2：從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購(gòu)、保潔四項(xiàng)不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有（ ）。

A.280種 B.96種 C.180種 D.240種 正確答案：D

解析：由于甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，所以翻譯工作就是“特殊”位置，因此翻譯工作從剩下的四名志愿者中任選一人有C（4，1）=4種不同的選法，再?gòu)钠溆嗟?人中任選3人從事導(dǎo)游、導(dǎo)購(gòu)、保潔三項(xiàng)不同的工作有A（5，3）=10種不同的選法，所以不同的選派方案共有 C（4，1）×A（5，3）=240種，所以選D。

3.捆綁法

所謂捆綁法，指在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問(wèn)題時(shí)，先整體考慮，將相鄰元素視作一個(gè)整體參與排序，然后再單獨(dú)考慮這個(gè)整體內(nèi)部各元素間的順序。注意：要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題，可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題。即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素，再與其它元素一起作排列，同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列。

例3：5個(gè)男生和3個(gè)女生排成一排，3個(gè)女生必須排在一起，有多少種不同排法？

A.240 B.320 C.450 D.480 正確答案：B

解析：采用捆綁法，把3個(gè)女生視為一個(gè)元素，與5個(gè)男生進(jìn)行排列，共有 A（6，6）=6×5×4×3×2種，然后3個(gè)女生內(nèi)部再進(jìn)行排列，有A（3，3）=6種，兩次是分步完成的，應(yīng)采用乘法，所以排法共有：A（6，6）×A（3，3）=320（種）。

4.插空法

所謂插空法，指在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求不相鄰的問(wèn)題時(shí)，先將其他元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置。注意：a.首要特點(diǎn)是不鄰，其次是插空法，一般應(yīng)用在排序問(wèn)題中；b.將要求不相鄰元素插入排好元素時(shí)，要注釋是否能夠插入兩端位置；c.對(duì)于捆綁法和插空法的區(qū)別，可簡(jiǎn)單記為“相鄰問(wèn)題捆綁法，不鄰問(wèn)題插空法”。

例4：若有甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人排隊(duì)，要求甲和乙兩個(gè)人必須不站在一起，且甲和乙不能站在兩端，則有多少種排隊(duì)方法？

A.9 B.15 C.12 D.20 正確答案：C

解析：先排好丙、丁、戊三個(gè)人，然后將甲、乙插到丙、丁、戊所形成的兩個(gè)空中，因?yàn)榧住⒁也徽緝啥耍灾挥袃蓚€(gè)空可選，方法總數(shù)為A（3，3）×A（2，2）=12種。

5.插板法

所謂插板法，指在解決若干相同元素分組，要求每組至少一個(gè)元素時(shí)，采用將比所需分組數(shù)目少的板插入元素之間形成分組的解題策略。需要注意的是其首要特點(diǎn)是元素相同，其次是每組至少含有一個(gè)元素，一般用于組合問(wèn)題中。

例5：將8個(gè)完全相同的球放到3個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，一共有多少種方法？

A.28 B.24 C.32 D.48 正確答案：A

解析：解決這道問(wèn)題只需要將8個(gè)球分成三組，然后依次將每一組分別放到一個(gè)盒子中即可。因此問(wèn)題只需要把8個(gè)球分成三組即可，于是可以將8個(gè)球排成一排，然后用兩個(gè)板插到8個(gè)球所形成的空里，即可順利的把8個(gè)球分成三組。其中第一個(gè)板前面的球放到第一個(gè)盒子中，第一個(gè)板和第二個(gè)板之間的球放到第二個(gè)盒子中，第二個(gè)板后面的球放到第三個(gè)盒子中去。因?yàn)槊總€(gè)盒子至少放一個(gè)球，因此兩個(gè)板不能放在同一個(gè)空里且板不能放在兩端，于是其放板的方法數(shù)是C（8，2）=28種。

三、結(jié)束語(yǔ)

在解決解答排列、組合問(wèn)題時(shí)，一定要遵循相應(yīng)的原則，根據(jù)題型的不同，來(lái)相應(yīng)的采取不同的方法和技巧，這樣就可以在解題時(shí)十分的簡(jiǎn)單，易懂，最為重要的是可以有效的準(zhǔn)確解題，提高解題的效率。

參考文獻(xiàn)

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