數(shù)學(xué)意識：在感性與理性中默化

○江蘇省南京市長江路小學(xué) 周衛(wèi)東

數(shù)學(xué)意識：在感性與理性中默化

○江蘇省南京市長江路小學(xué) 周衛(wèi)東

編者按：數(shù)學(xué)意識是形成良好數(shù)學(xué)品格的核心與關(guān)鍵。厘清數(shù)學(xué)意識的內(nèi)涵，掌握培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識的有效策略，是促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“落地”的基礎(chǔ)和前提。

什么是數(shù)學(xué)意識？

先來看一則例子。1980年，陳省身在北大的一次講學(xué)中語出驚人：“人們常說，三角形的內(nèi)角和是180°，但是，這話是不對的！不是說事實(shí)不對，而是說這種看問題的方法不對，應(yīng)該說，三角形的外角和是360°。把眼光盯住內(nèi)角，只看到三角形的內(nèi)角和是180°，四邊形的內(nèi)角和是360°，五邊形的內(nèi)角和是540°，n邊形的內(nèi)角和是（n-2）×180°，如果看外角呢？所有的多邊形的外角和都是360°。”顯而易見，陳省身教授這種看待問題的視角，足以說明他有著高于常人的數(shù)學(xué)意識。

再比如，在平常的教學(xué)中，學(xué)生會計(jì)算“50÷5”，說明他掌握了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識與基本技能；會解決“50本作業(yè)本，平均分給5組同學(xué)，每組多少本子”這樣的問題,說明他具有一定的分析和解決問題的能力；看到老師拿來5根長繩分給全班50位同學(xué)進(jìn)行跳繩比賽，立即想到“50÷5”這個算式，這才說明具有一定的數(shù)學(xué)意識。

意識，作為動詞，即“意識到”的活動；作為名詞，是與活動相對應(yīng)的結(jié)果（知識）。相對應(yīng)的，數(shù)學(xué)意識作為人腦對客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的反映，它有兩方面的含義：其一，作為人腦的反映，數(shù)學(xué)意識是主體能動地自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去分析、處理問題的思維習(xí)慣。其二，作為數(shù)學(xué)活動的結(jié)果，數(shù)學(xué)意識主要包括數(shù)學(xué)概念、原理、公式、定理所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法及其知識。二者相輔相成，辯證統(tǒng)一于數(shù)學(xué)活動過程之中。

當(dāng)下的教育在努力追求一種境界，那就是教給學(xué)生“帶得走的東西”，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“帶得走的東西”，就包括學(xué)生忘掉具體數(shù)學(xué)知識以后，依然能從數(shù)學(xué)的視角去分析和研究問題的思維習(xí)慣，是一種植根于內(nèi)心的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和無需提醒的文化自覺，即:數(shù)學(xué)意識。因此，通俗地講，數(shù)學(xué)意識是自覺地從數(shù)量關(guān)系和空間形式的角度認(rèn)識世界的一種頭腦與眼光。數(shù)學(xué)意識能自覺地指導(dǎo)、調(diào)節(jié)、監(jiān)控學(xué)生的數(shù)學(xué)活動，使其行動具有目的性、方向性和預(yù)見性。

數(shù)學(xué)意識通常包括初步的符號意識、建模意識、數(shù)據(jù)分析意識、應(yīng)用意識等。數(shù)學(xué)意識體現(xiàn)在日常生活的方方面面，可謂如影隨形。

比如，麻將算得上是一種國粹，稍加分析，這種娛樂活動中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)意識。其一是模型意識，你要問這些身經(jīng)百戰(zhàn)的麻將高手，到底怎樣才算是和牌了？雖然很難一言以蔽之，但他們往往能一類一類地給你講一些具體的牌局，這些具體的基本上已經(jīng)固化了的牌局，就是一種基本的模型；其二是數(shù)據(jù)分析意識，對運(yùn)行中的各種情況進(jìn)行預(yù)測，什么牌可以打，什么牌不能打，展現(xiàn)出具體的數(shù)據(jù)分析意識；其三是應(yīng)用意識，在這種非數(shù)學(xué)情境中能夠數(shù)學(xué)化地解決實(shí)際問題，是數(shù)學(xué)思想方法被內(nèi)化為數(shù)學(xué)意識和數(shù)學(xué)能力后的自覺應(yīng)用，這是數(shù)學(xué)意識的自然流露。

數(shù)學(xué)具有得天獨(dú)厚的工具價值，特別是在日益“數(shù)字化生存”的今天，社會發(fā)展呈現(xiàn)出顯著的數(shù)學(xué)化趨勢，連許多過去與數(shù)學(xué)似乎沾不上邊兒的領(lǐng)域都被納入了數(shù)學(xué)的版圖，并因此取得了長足的進(jìn)步。人們現(xiàn)在越來越意識到，高科技中的問題在本質(zhì)都是數(shù)學(xué)問題；這種認(rèn)識本身正是數(shù)學(xué)意識的升華。

那么，在日常的教學(xué)中，我們該如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識呢？

一、在數(shù)學(xué)與生活牽手時萌發(fā)

盡管近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展給人以“越來越遠(yuǎn)離我們的生活”之印象，但是，數(shù)學(xué)的起源與發(fā)展無時無刻不與我們的生活緊密相連。小學(xué)數(shù)學(xué)基本上都屬于“初等數(shù)學(xué)”的范疇，幾乎毫無例外地都與兒童生活和社會經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系緊密。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，聯(lián)系兒童生活和社會經(jīng)驗(yàn)來展開學(xué)習(xí)活動是極其自然的事情。

我們要有意識地把數(shù)學(xué)概念、法則、性質(zhì)、定律等要素寓于學(xué)生熟悉的生活情境與現(xiàn)實(shí)問題之中，以形象、具體、生動可感的生活內(nèi)容與形式為載體，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識、傳輸數(shù)學(xué)信息、提出數(shù)學(xué)問題，并引導(dǎo)學(xué)生身臨其境，投入其中。比如，如何讓學(xué)生理解“在四則混合運(yùn)算中，先做乘除后做加減”？對學(xué)生直陳“這是一種規(guī)定”未必不能算一種教法，但這樣的教學(xué)，泯滅了數(shù)學(xué)的靈性，逼仄了學(xué)生的思維與求知欲。著名特級教師劉松獨(dú)到的做法令我們深受啟迪。他創(chuàng)設(shè)了一個情境：“同學(xué)們，大家都已經(jīng)會計(jì)算115-15×4這道算式了，每個算式都是有生命的，你能圍繞這道算式編個故事嗎？”并給出了足夠的時間讓學(xué)生思考、書寫。隨后，學(xué)生調(diào)動自己的生活經(jīng)驗(yàn)和豐富的想象力，講出了若干屬于“自己的故事”：“公園里的成人票每張30元，兒童票15元，小明有115元，買了4張兒童票，還剩多少元？”“學(xué)校有115把新椅子，每班配15把，配了4個班，還剩多少把？”“一個師傅和四個徒弟比賽扎燈籠，師傅共扎了115個，徒弟每人扎15個，師傅比徒弟多扎多少個？”故事講完后，引導(dǎo)學(xué)生思考：“在這個故事中，如果先算減法會出現(xiàn)什么情況？”學(xué)生在想、辯的過程中，會頓悟：原來先做乘除后做加減的原理在這里，而不只是一種簡單的規(guī)定。此過程中，學(xué)生編擬故事的過程，就是運(yùn)用生活經(jīng)驗(yàn)解釋算理的過程，交流故事的過程則是理解、深化算理的過程。這樣的教學(xué)，讓數(shù)學(xué)與生活合理、合適地相遇，數(shù)學(xué)在生活中得到詮釋，得到升華，此時，數(shù)學(xué)意識就會如種子般在學(xué)生的心智間自然、自發(fā)地萌發(fā)。

與此同時，還要注意的是，我們生活在廣博的社會生活中，生活中蘊(yùn)含著大量數(shù)學(xué)元素，我們要有意識地引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活，并在觀察、分析、比較生活材料的基礎(chǔ)上，加以綜合、歸納和抽象、概括，以處理和解決生活問題的策略、方法、事理、規(guī)律等事實(shí)依據(jù)，直覺感受與直接經(jīng)驗(yàn)等進(jìn)行遷移、類推、衍化和升華，探尋潛在的數(shù)學(xué)原理，發(fā)掘內(nèi)隱的數(shù)學(xué)本質(zhì)，領(lǐng)悟蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，建構(gòu)、生成相應(yīng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)模型，從而真正實(shí)現(xiàn)“生活數(shù)學(xué)”向“學(xué)校數(shù)學(xué)”的過渡。

二、在問題與思維共振時驅(qū)動

心理學(xué)研究表明，意識到問題的存在是思維的起點(diǎn)，沒有問題也就沒有思維。

數(shù)學(xué)意識活動是一種思維過程，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，首先應(yīng)讓學(xué)生有一雙“慧眼”來發(fā)現(xiàn)問題，并盡可能地以“兒童”的方式來解決問題。什么是教學(xué)？有專家這樣形象地描述：告訴學(xué)生11+3=14，這不是教學(xué)，問學(xué)生11+3等于多少，也不是教學(xué)，如果對學(xué)生說，11+3=15，你怎么看？這才是教學(xué)。較之前兩者，第三種教法的可貴之處就在于：呈現(xiàn)在學(xué)生面前的是問題，是需要消耗“腦力當(dāng)量”的“真問題”。這需要對問題本身先進(jìn)行審視、判斷，然后才能進(jìn)行分析與解決。如此，長期以往，學(xué)生的眼光是通透的而非模糊的，學(xué)生的思維是多向的而非單一的，學(xué)生對問題的看法是辯證的而非絕對的。

小說家格雷厄姆·格林說過：“童年期肯定有一些時機(jī)，此時大門打開，讓未來走進(jìn)來。”兒童經(jīng)常會用自己的一套理論異想天開。比如學(xué)習(xí)“筆算除法”一課，一位學(xué)生這樣做（見下圖），他說：“書本的除法豎式太麻煩了，這樣寫也很好算，加、減、乘不都這樣寫嗎？”對這樣看似非常可笑的問題，教師微笑著鼓勵他查詢資料、嘗試自學(xué)三位數(shù)除以兩位數(shù)，試驗(yàn)一下自己發(fā)明的除法豎式到底行不行，如果可行將為他申請發(fā)明專利。后來，這位學(xué)生寫了幾百字的小論文，發(fā)表在雜志上。再比如，教學(xué)“多位數(shù)的讀寫”一課，有一位學(xué)生質(zhì)疑：“老師，數(shù)位的高低為什么一定要從左往右排？能不能從低往高排？”多好的問題！多好的教學(xué)資源！我放下預(yù)設(shè)，果斷地接納這“可遇而不可求”的生成資源，引導(dǎo)大家按剛才質(zhì)疑的學(xué)生的思路進(jìn)行嘗試，讓這種問題得到了妥善的、讓其心悅誠服的回應(yīng)。試想，如讓學(xué)生長期浸潤在這樣的“問題場”域中，數(shù)學(xué)意識何愁不能驅(qū)動？

三、在探索與發(fā)現(xiàn)攜手時形成

兒童文化蘊(yùn)涵著可貴的哲學(xué)精神：自由、智慧、發(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)意識的形成，與兒童的每一次的探索與發(fā)現(xiàn)是密不可分的。成人如果漠視兒童文化的詩性邏輯和游戲精神，其實(shí)質(zhì)是成人文化專斷，使兒童與其本真的生存方式相剝離。教師要做一個長大的兒童，理解兒童、成全兒童，大智若愚，在有趣的發(fā)現(xiàn)之旅中涵養(yǎng)兒童的數(shù)學(xué)意識。比如，我在教學(xué)“9的乘法口訣”時，聽課老師評價我特別“懶”，沒做一張ppt，沒設(shè)計(jì)任何情境故事，也沒有老老實(shí)實(shí)地做書本習(xí)題。課始，我親切地對學(xué)生說：“課前周老師了解到，咱班小朋友都在家長的指導(dǎo)下背過9的乘法口訣，想不想露一手？”大家興奮地背起來。“小朋友，哪一句比較容易錯啊？”有的學(xué)生說，“六九五十四容易錯，因?yàn)樗臀寰潘氖搴芟瘢袝r分不清是四十五還是五十四。”我就以“怎么知道六九是多少”為例，展開教學(xué)。學(xué)生們在研究單上用畫圖、轉(zhuǎn)化成加法、借助熟悉的口訣等多元的方法證明“六九五十四”。我只用紅筆在一組研究單上（從畫圖、加法算式、乘法算式到口訣）畫了一個向下的箭頭，寫上“抽象”二字，可謂神來之筆。在整理出9句口訣之后，我退到講臺邊上：“孩子們，好好觀察9的口訣，你有什么有趣的發(fā)現(xiàn)？”一段安靜的思考后，大家紛紛上臺，這是當(dāng)時學(xué)生們的黑板板書（如圖）。最后，讓他們展示各自推薦的一道好題，在彼此的分享中經(jīng)歷兒童樂、聞著數(shù)學(xué)味，循著數(shù)學(xué)意識的影子，流連忘返。

四、在方法和思想滲透時升華

數(shù)學(xué)意識與數(shù)學(xué)思想方法關(guān)系密切，數(shù)學(xué)意識是由數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)化、自覺化而產(chǎn)生的，所以數(shù)學(xué)意識活動實(shí)際上就是自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法處理問題的傾向。數(shù)學(xué)意識對數(shù)學(xué)活動起著定向、統(tǒng)攝和監(jiān)控作用，這些作用的發(fā)揮取決于思想方法的運(yùn)用程度。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)意識的橋梁和中介，所以，我們要盡可能地在教學(xué)中重視數(shù)學(xué)思想方法，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)環(huán)境，滲透數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生感受、感悟數(shù)學(xué)思想方法的精妙，為他們形成良好的數(shù)學(xué)意識鋪墊、蓄勢。

數(shù)學(xué)思想方法往往隱含于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識之中，所以數(shù)學(xué)教師首先要充分挖掘教材中蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想，然后引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、概括，經(jīng)歷知識形成的過程，在問題解決中有意識地滲透數(shù)學(xué)思想方法，通過動手實(shí)踐、合作交流等活動領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，問題解決后要再次強(qiáng)調(diào)或引導(dǎo)學(xué)生自己歸納出思想方法。這樣，才能讓數(shù)學(xué)思想方法真正內(nèi)化為學(xué)生素養(yǎng)結(jié)構(gòu)中不可分割的一部分。比如，教學(xué)“解決問題的策略——假設(shè)”一課，課始，我先播放了一則“道邊苦李”的動畫小故事，抓住核心問題“王戎是怎么判斷路邊的李子是苦的”進(jìn)行討論，讓學(xué)生透徹理解“假如路邊的李子是甜的，怎么會沒人摘下來吃”的道理，為假設(shè)思想的教學(xué)打下了孕伏。再比如，教學(xué)一年級的“比多少”一課，我故意在黑板上無規(guī)則地?cái)[上若干個黃色圓片和紅色圓片，讓學(xué)生解決“怎么才能知道黃色的圓片多還是紅色的圓片多，多多少個”等問題，這時，學(xué)生除了通過數(shù)的方法，還會自然而然地就會想到“一個對著一個擺”的方法，而這種方法的深處就是小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的“一一對應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想。

五、在教師與學(xué)生相融時共生

數(shù)學(xué)意識的養(yǎng)成遠(yuǎn)不及數(shù)學(xué)知識的傳承與數(shù)學(xué)能力的練就那么直接、具體、顯性，教師沒有現(xiàn)成的章法和固定的模式可以依循，在實(shí)施過程中操作也有一定的難度，同時其成果的顯現(xiàn)與評價也難以量化。因而，數(shù)學(xué)意識的養(yǎng)成是一個長期的、復(fù)雜的、螺旋上升的過程，不可能一蹴而就，需要一以貫之、持之以恒。這就需要教師具有高度的自覺意識、高度的責(zé)任感和使命感，傾情投入，主動作為，凝聚自身和他人的教育智慧進(jìn)行教學(xué)。

教育的根本目的在于“促進(jìn)人的全面發(fā)展”，在于啟迪人的智慧，給予人的發(fā)展方向、動力和潛能。學(xué)生數(shù)學(xué)意識的養(yǎng)成教育，將促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識逐步萌發(fā)、生成、發(fā)展，使其素養(yǎng)內(nèi)涵得到較前更趨完善，結(jié)構(gòu)更趨合理。讓學(xué)生具有用數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法解決問題的心向和習(xí)慣，這無疑為他們認(rèn)識客觀世界提供了新的視角與工具，注入了應(yīng)對未來社會和創(chuàng)造未來世界的新的動力、能力與智慧。同時，教學(xué)的過程是師生共同成長、雙向發(fā)展的共贏過程，學(xué)生數(shù)學(xué)意識養(yǎng)成的研究，也必將促進(jìn)教師的數(shù)學(xué)意識的覺醒、發(fā)展、升華，促進(jìn)教師教育觀念、教學(xué)視界和自身數(shù)學(xué)水平、教學(xué)智慧等進(jìn)一步提升，促進(jìn)教師教學(xué)行為與方式方法的與時俱進(jìn)，獲得時代性的變革與改進(jìn)。