淺談初中數學數軸上行程問題的解決

方瑞祥??

摘要：數軸上的行程問題是初中數學中比較重要的一個知識點，對于學生而言具有一定的難度。而對于數軸上的行程問題要如何解決，也是值得深入研究考量的。對此，本文首先分析了數軸上行程問題的基本內涵，然后闡述了解決這些問題的具體方法對策，希望可以對學生有效掌握相關知識提供可靠的參考指導。

關鍵詞：初中數學；數軸行程問題；基本內涵；解決方法

數軸并非一根實際存在的軸，其是假想出來的，表示所有數在這一根軸上的變化。在數學教學不斷進步發展的情況下，出現了數軸行程這一類問題，其可以看作是追及、相遇問題在數軸上的表現。由于數軸本身是不存在的，因此在教學中學生很容易產生理解上的差錯，從而不能正確對問題進行求解。

一、 數軸上行程問題的內涵分析

數軸上行程問題是將傳統行程問題和數軸相結合的一個全新的教學內容，其有效實現了兩部分知識點的融合，可以通過這一個點的教學，讓學生對數軸和行程都形成理解認識。在數軸行程問題中，其既會涉及數軸自身的基本概念，又會涉及行程問題中的追及和相遇，可謂復雜程度顯著提升，對于學生的思維能力要求更高。根據實際的問題來看，數軸上的行程問題和傳統的行程問題相似，也可以分為追及、相遇、遠離、速度等不同的類別，下面就一一進行闡述。

（一） 追及類數軸行程問題。這類問題同傳統的行程追及問題相似，主要區別在于追及的對象發生了變化。傳統追及問題的追及對象是人、車輛等，而數軸行程追及問題的對象變成了數字。例如：已知數軸上有兩點A和B，兩點的坐標別為2和10，如果A點以每秒4個單位的速度向右運動，而B點以每秒2個單位的速度向右運動，那么在多少秒以后，A點可以追上B點？從這個問題可以看出，數軸行程追及問題也是兩個對象處在不同的起始位置，然后依照不同的速度向同一個方向運動，最后在一定時間后處于同一個位置。

（二） 相遇類數軸行程問題。顧名思義，相遇類數軸行程問題就是在數軸上，有兩個處在不同位置的數，然后分別以相同或是不同的速度相向運動，在一定時間之后相遇，處于同一位置。例如：在數軸上有A和B兩個點，其坐標分別為-12和12，若A點以每秒2個單位的速度向右運動，B點以每秒4個單位的速度向左運動，那么當其相遇時，距離原點多少個單位？這就是一個相遇類的數軸行程相遇問題，其核心思想是和傳統相遇問題一致的，只是載體出現了變化。

（三） 遠離類數軸行程問題。這類問題就是兩個對象在同一位置或是不同位置，在相同時間或是不同時間，以不同的速度同向或是反向運動，要求出在一定時間之后距離多遠。例如：數軸上有A和B兩個點，其分別處在2和6的坐標位置，其中點A以每秒2個單位的速度向左運動，點B以每秒3個單位的速度向右運動，那么兩個點要達到44個單位的距離，需要花費多少秒的運動時間？這個問題就是比較典型的遠離類問題，兩個單位之間的距離越來越遠，最后達到問題所求的距離。

（四） 速度類數軸行程問題。這類一般是在限定時間和距離的情況下，對其中一個對象的運動速度進行求解。例如：在數軸上存在兩個點A和B，其中點A坐標為2，點B坐標為8，兩個點都向右側運動，3秒后相距3個單位，已知點B的速度為每秒4個單位，那么點A的速度為多少？這就是一個比較典型的求解速度的問題，其解題關鍵和傳統行程速度問題是一致的，需要在教學中予以注意。

二、 數軸上行程問題的解題要點

數軸上行程問題的類型多樣，條件、問題都不相同。但是，由于這類問題本身的特殊性，使其存在一些關鍵要點，在解題過程中，就需要對這些關鍵要點予以有效把握，從而確保解題準確。

第一，要明確數軸上兩個點之間的距離關系。和傳統行程問題不同的是，在數軸上的數有正負之分，點所在位置的坐標決定了正負關系。要對兩個點之間的距離進行確定，則一定要用右側點的坐標減去左側點的坐標，這樣得出的結果就是兩者之間的距離。例如點A和點B的坐標分別為3和-2，那么右側減左側就是3-（-2）=5，即二者距離為5個單位。

第二，點在數軸上的運動可以看作一個加減過程，即向右側移動看作加，向左側移動看作減。比如，點A的坐標為5，如果向右側移動5個單位，那么就是5+5=10，移動后的坐標就是10。如果向左側移動3個單位，那么就是5-3=2，移動后的坐標就是2。

第三，數軸上的行程問題實際上就是將問題放在了數軸當中，使得問題本身就存在數形結合的屬性。因此在解答相關題目的時候，不能脫離數軸單純想象，而應該將數軸畫出來，實際演示數軸上點的具體移動過程，理清其中的運動關系，從而找準解答題目的關鍵信息。

三、 數軸上行程問題的解答方法

（一） 圖形法

數軸上行程問題本身具有的數形結合屬性，就使得圖形法成為了解答此類題目的最有效手段。在解答相關題目的時候，根據題意畫出數軸，在數軸上標出對應的點，以及其在移動前后的位置關系，以此明確運動過程，得出解題思路。在教學中，教師就需要以實際的題目對學生進行引導，讓學生能夠對圖形法有效掌握。

例如：在數軸上有A和B兩個點，其中點A的坐標為-3，點B的坐標為2，如果點A以每秒3個單位的速度向右移動，點B以每秒2個單位的速度向右移動，那么在多少秒之后，點A和點B坐標相同？這就是一個簡單的追及問題，依據圖形法，可以畫出A、B兩個點的位置示意圖，如下圖所示。首先可以得出兩個點之間的距離，即AB=2-（-3）=5，即相距5個單位，然后可以就算兩個點移動速度的差值，即3-2=1，最后就可以計算出相遇時間：5÷1=5秒。

從這個題目可以看出，在數軸上將題目中的位置關系表示出來，就可以非常明顯地看出兩者之間的距離關系，然后根據題目所給出的速度關系，就可以快速求出相遇時所需花費的時間。不僅如此，如果將上述題目的條件進行簡單轉化，就可以改變成一個遠離類問題：點A移動速度為每秒2個單位，點B移動速度為每秒3個單位，則兩者相距10個單位時，經過了多少時間？改變條件之后就可以得出，之后相距為10個單位，之前相距為5個單位，因此運動使得兩者距離增加了5個單位。而根據速度差3-2=1，可以得出時間為5÷1=5秒，即5秒后兩者距離拉大到10個單位。endprint

（二） 轉化法

數軸本身的抽象性使得學生在理解上容易出現問題，因此在遇到相關題目的時候，可以將數軸行程類問題轉化成傳統的行程問題，在求解之后再將結果轉化到數軸之上。通過這樣一個轉化的過程，就將抽象的問題轉化成了學生所熟知的具象問題，可以實現有效解答。

例如：有A和B兩個點在數軸上，其坐標分別為1和9，在3秒后兩者相距2個單位，已知點B的速度為每秒4個單位，但是方向未知，試求點A的速度以及運動方向。這道題目難度稍大，若是通過圖形法求解，由于點B的運動方向未知，學生很可能在圖形上繞暈自己。因此，可以將其轉化為傳統的行程問題，方便求解。因此可以將其轉化為：甲乙兩人相距8公里，3小時后相距2公里，已知乙的速度為每小時4公里，那么試求甲的速度。轉化之后可以發現，3小時乙運動了12公里，因此甲乙兩人不可能相向而行，必然是同向運動。由此可以設甲的速度為x，則（x-4）×3=8-2，可以解得x=6。再將答案轉化到原題中，即點A的運動速度為每秒6個單位。然后再考慮運動方向，由于點A速度大于點B，若是向左運動，兩者距離會越來越大，因此兩者都是向右運動。由此可得，點A的速度為每秒6個單位，向右運動。

（三） 聯想法

所謂聯想法，就是將數軸上的點聯想為其他動態的對象，如一只螞蟻、一只蜜蜂，通過螞蟻、蜜蜂的形象運動，消除題目本身的抽象性。

例如：數軸上的兩個點分別為A和B，坐標分別為-10和5，現在點A向右側移動2秒，每秒移動2個單位。然后點B向左移動，每秒移動3個單位，2秒之后，兩個點相距多少個單位？對于這個題目，就可以采取聯想法，將點A想象為一只螞蟻，將點B想象為一只蜜蜂，然后就是螞蟻先移動2秒，再和蜜蜂一起移動。于是可以得出：2×2=4，3×2=6，2×2=4；4+6+4=14，15-14=1，即兩者相距1個單位。

結束語

數軸上的行程問題在初中階段是一個重要的知識點，對其形成有效掌握，才能對數軸的相關知識清晰理解。對此，需要明確這類問題的類型特點，掌握解題關鍵，對圖形法、轉化法和聯想法巧妙利用，確保可以高效、準確地解答這類題目。

參考文獻：

[1] 徐沙沙，王新華，樓保林.初中數學教學中的數軸及其思想[J].成功（教育版），2013，（9）：62-63.

[2] 楊湖.數形結合在初中數學教學中的運用[J].基礎教育研究，2016，（3）：63-65.

[3] 余長珍.數學思想方法在初中數學教學中的滲透[J].學周刊，2014，（1）：147.endprint