例談數學模型建構中的理性思維培養*

□秦亞平

（江蘇省武進高級中學，江蘇常州213161）

例談數學模型建構中的理性思維培養*

□秦亞平

（江蘇省武進高級中學，江蘇常州213161）

模型建構的過程就是理性思維的體現和落實過程。以“酵母菌種群數量的J型增長模型”為例，闡述了模型建構作為理性思維培養的有效載體，借助于模型建構目的的明確確立思維的方向，通過觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括等訓練強化理性思維方法，以假說提出與驗證中的推理方法，以及模型的檢驗與完善環節培養學生的理性思維。

模型建構；理性思維；推理

高中生物教學中培養學生的理性思維，就是要培養學生尊重事實和證據，崇尚嚴謹和務實的態度，運用科學的思維方法認識事物、解決實際問題的思維習慣和能力。模型建構是高中階段學生必須培養的能力之一，也是核心素養理性思維培養的重要載體。模型的建構過程中無不閃爍著理性思維的火花，本文以“酵母菌種群數量的J型增長模型”為例，闡述數學模型建構中蘊含的理性思維。

一、理性思維的首要之務是明確模型建構目的

模型建構是根據某一特定目的，抓住研究事物原型的本質特征，對原型進行抽象，把復雜的原型加以簡化、純化或理想化，提煉出能反映事物本質聯系的模型過程。模型是根據某一特定目的而構建的，也就指明了思維的方向，避免了思維的無序，這正是理性思維的理性基點，也是思維的最基本特征。在模型的構建中，需要引導學生關注需要構建什么樣的模型，以解決什么問題，確保思維方向的準確。建構“酵母菌種群數量的J型增長模型”（以下簡稱“J型模型”），就要明確建構模型的目的在于發現并用數學的方式表達出種群數量增長的規律，把思維的方向和重心落在時間與種群數量增長的關系上，避免其他非本質、無關因素對模型構建的思維干擾。

二、理性思維方法訓練是提煉模型本質特征的基礎

理性思維是一種有明確思維方向和依據，對事物進行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括的思維方式。模型構建需要對已有事實和證據進行分析與綜合，經舍棄個別的、非本質的現象，抽象、概括出共性的、本質的特征，并推廣到同類事件中。分析與綜合、抽象與概括正是思維和理性思維的基本方法。例如，圖1為酵母菌在不同培養條件下的種群數量增長示意圖，在“J型模型”的構建時，需要通過比較分析，摒棄、忽略各種J型曲線的差異，本著求同存異，發現共性，抽象、概括出種群數量增長的共同趨勢；圖2為某島嶼環頸雉的種群數量增長示意圖，在“J型模型”的構建時，需要淡化、弱化乃至排除季節、氣候等非本質因素的干擾，舍棄次要因素和無關因素帶來的干擾，透過現象，揭示種群數量J型增長的規律。

圖1

圖2

三、符合邏輯的推理是模型形成中理性思維的表現之一

“只要自然科學在思維著，它的發展形式就是假說”。（恩格斯）未經證實的模型實質就是假說，假說在許多學生眼里就是一個隨心所欲的論斷，不需要證據、不需要邏輯推理。然而，假說不是臆測，在假說的形成中，需要基于已有的知識、事實和經驗，運用分析和綜合、抽象與概括等多種思維方法，進行合理推理。這既體現了理性思維，又保證了模型的科學性。

（一）假說提出中的推理方法

假說的提出是以為數不多的事實和科學知識、原理為依據，做出的初步推測[1]。假說的形成需要合乎邏輯的推理，類比推理、歸納推理被經常運用。在“J型模型”的構建時，基于細菌經歷若干次分裂得到的系列實驗數據等事實，結合細菌繁殖的理論資料，發現了細菌種群數量與時間之間存在的指數函數關系，正是運用了歸納推理中的不完全數學歸納法。同時，也正是運用的是不完全數學歸納法，推理的結果不是必然的，存在著或然性，因此，必須進一步用實驗證實。

（二）假說驗證中的推理方法

通過初步推測提出的假說，還不足以成為科學假說，需要依據提出的假說，運用演繹推理的方法，用已有的事實加以嘗試性的驗證。如果對已經存在的現象、事實都無法自圓其說，也就失去了成為科學假說的可能。只有那些能順利通過驗證的方能確立為假說，進而進入實驗檢驗階段。在“J型模型”的構建時，當通過實驗數據的分析、推測出Nn=2n后，需要運用該假說進行演繹推理，推論出分裂一次、二次、三次……的結果，觀察是否與已有的實驗數據相吻合。如果不吻合，說明提出的種群數量增長假說不成立，事實上，因為假說Nn=2n與實驗數據的吻合，才進入了后續的實驗檢驗階段。

四、理性思維推動著模型的檢驗與完善

理性思維是一種建立在證據和邏輯推理基礎上的、嚴格遵守邏輯規律的思維方式。目的明確、有理有據、推理嚴謹是其重要特征。辯證地思考，實事求是地判斷是非正誤，縝密地分析、反思自己思維過程的合理性，既是理性思維的重要體現，也是批判性思維的現實表現。

（一）模型檢驗中的理性思維

在模型假說經受住了已有事實的考驗后，榮升為了科學假說，但需要有進一步的檢驗后方能成為科學結論，在此檢驗過程中必然需要用到演繹推理，即用科學假說進行演繹推理出預期的結果，用實驗或其他手段，檢驗真實的結果與預期結果是否相吻合，如果一致，則證明了科學假說是正確的，成為了科學結論。在“J型模型”的構建時，由于假說的得出運用的是不完全數學歸納法，用數學歸納法的證明方法即可予以驗證，即預期第n+1次時，細菌的種群數量是否為2n+1，如果實驗的結果確為2n+1，就檢驗了假說的正確性。

（二）模型完善中的理性思維

合理的完善、彌補存在的不足是理性思維的應有之舉。構建模型的目的在于發現現象或問題的本質，并借助于模型解決一個或一類問題，因此，往往需要對模型進行完善，以普適于相似問題情境，解決類似問題。在“J型模型”的構建中對J型增長模型進行了兩方面的完善。一方面是對模型適用條件的完善。任何一個規律、模型一定有特定的使用對象，適用條件是一個完整模型的必然組成部分。在“J型模型”的構建時，從細菌的實驗室培養條件，到澳大利亞野兔、美國島嶼上環頸雉的種群數量快速增長的條件分析，歸納、提煉出：J型增長模型必須在“在食物和空間條件充裕、氣候適宜、沒有敵害等條件下”方可適用。另一方面是對模型本身的完善，即由細菌增長模型Nn=2n拓展到了適合所有生物的Nt=N0λt，具體有兩點：一是將初始生物個體數由細菌實驗中的1推廣到了任何初始數量N0；二是將種群數量每年增長的倍數由細菌2推廣到了適合所有生物、具體條件下的不同λ，大大拓寬了模型適用的范圍，使得模型有了更大的發揮空間。

理性思維是生物學科核心素養之一，理性思維培養應該成為高中生物教學的基本目標之一。模型建構為理性思維的培養提供了有效載體，模型建構過程就是理性思維的具體體現和落實過程。在模型的構建中，要理性分析為什么要構建，構建什么樣的模型，要抓住事物的本質特征，運用分析與綜合、抽象與概括等理性思維的基本方法，合乎邏輯的推理，提煉出能反映事物本質的模型，并在檢驗和完善中走向完美。

［1］蔡賢浩.形式邏輯.武漢：華中師范大學出版社，2007：182-189.

*本文系江蘇省中小學教學研究室基礎教育課程教學改革重大項目“生物學習室·學具開發及其教學研究”〔項目編號：2015 jssjys-15〕和課題“高中生物教學中培養學生理性思維的實踐研究”研究成果。