高三數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)設(shè)計(jì)的策略
——以高考圓錐曲線焦點(diǎn)弦長有關(guān)試題為例

□周如俊

（江蘇省灌南中等專業(yè)學(xué)校，江蘇灌南222500）

高三數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)設(shè)計(jì)的策略
——以高考圓錐曲線焦點(diǎn)弦長有關(guān)試題為例

□周如俊

（江蘇省灌南中等專業(yè)學(xué)校，江蘇灌南222500）

普通高中數(shù)學(xué)學(xué)科應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”“邏輯推理”“數(shù)學(xué)建模”“數(shù)學(xué)運(yùn)算”“直觀想象”“數(shù)據(jù)分析”六大核心素養(yǎng).“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)設(shè)計(jì)是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要路徑，避免學(xué)生碎片式學(xué)習(xí)與解題，造成“只見樹木不見森林”的學(xué)習(xí)誤區(qū).

數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)；結(jié)構(gòu)化；教學(xué)設(shè)計(jì)；策略

教育部《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂組組長王尚志教授在有關(guān)專題報(bào)告中提出，普通高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生“六大”核心素養(yǎng)[1].那么在高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)中如何補(bǔ)齊與落實(shí)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)呢？

筆者認(rèn)為“結(jié)構(gòu)化”的教學(xué)設(shè)計(jì)是提升學(xué)生“六大核心素養(yǎng)”的重要路徑.高三數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)設(shè)計(jì)，要基于學(xué)生學(xué)習(xí)視角，跳出教材知識(shí)“散點(diǎn)”式的編排框架，探究知識(shí)點(diǎn)（鏈）之間的橫向聯(lián)系和縱向結(jié)構(gòu)，使學(xué)生形成解題的核心知識(shí)、核心思維與核心方法，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的整體化、化歸化、系統(tǒng)化.具體而言，即教師從數(shù)學(xué)知識(shí)體系“結(jié)構(gòu)化”的特點(diǎn)和學(xué)生認(rèn)知“結(jié)構(gòu)化”的形成與發(fā)展規(guī)律出發(fā)，幫助學(xué)生在已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，讓知識(shí)鏈延長與知識(shí)面拓展，把握解題結(jié)構(gòu)之“本質(zhì)”，從而從整體上把握數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和觀念，進(jìn)而有效地克服肢解數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的現(xiàn)象.

下面以2017年全國新課標(biāo)Ⅰ卷（理）第10題（以下簡稱“例題”）的解題為例，就高三數(shù)學(xué)“結(jié)構(gòu)化”教學(xué)設(shè)計(jì)問題作分析.

題目：已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為_____.

A.16B.14

C.12 D.10

與之類似的試題是2008年全國Ⅰ卷（理）第22題：設(shè)橢圓其相應(yīng)于焦點(diǎn)F(2,0)的準(zhǔn)線方程為x=4.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知過點(diǎn)F1(-2,0)、傾斜角為θ的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn)，求證：

（Ⅲ）過點(diǎn)F1(-2,0)作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于點(diǎn)A,B和D,E，求|AB|+| DE|的最小值.

一、縱向“融通”設(shè)計(jì)——讓解題方法“串”起來

課前給予學(xué)生文獻(xiàn)[2]-[8]內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)據(jù)分析”能力（主要包括：收集文獻(xiàn)數(shù)據(jù)，整理文獻(xiàn)，提取信息，構(gòu)建模型對(duì)信息進(jìn)行分析、推斷，獲得結(jié)論）.教學(xué)中從圓錐曲線弦長求解結(jié)構(gòu)化視角，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)例題進(jìn)行“數(shù)學(xué)抽象”，啟發(fā)學(xué)生“一題多解”，發(fā)散性追溯的知識(shí)學(xué)習(xí)生長點(diǎn)與延伸點(diǎn)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法“串”通起來.從而激發(fā)學(xué)生探究圓錐曲線弦長求解的知識(shí)點(diǎn)的縱橫聯(lián)系，有效洞察其發(fā)生與發(fā)展的過程，掌握其在知識(shí)鏈中的結(jié)構(gòu)關(guān)系，串成整體的知識(shí)鏈.

【例題“數(shù)學(xué)抽象”】已知F為拋物線C：y2=2px的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線 l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線 l2與C交于D，E兩點(diǎn)，試求| AB|+| DE|的最小值.

（一）方法1：韋達(dá)定理法

即（| AB|+| DE|）min=8p=16，故選擇A.

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算是其解題活動(dòng)的基本形式.學(xué)生在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，通過韋達(dá)定理法求弦長解題結(jié)構(gòu)化，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題（主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等），在運(yùn)算中實(shí)現(xiàn)“演繹推理”，促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成程序化、結(jié)構(gòu)化思考問題的習(xí)慣.

（二）方法2：判別式法

設(shè)直線的斜率為k，被圓錐曲線截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)為（x1,y1）、（x2,y2），則對(duì)方法1進(jìn)行拓展，則有：

點(diǎn)評(píng)：判別式法是在方法1基礎(chǔ)上實(shí)施“邏輯推理”的解題結(jié)構(gòu)化，在“邏輯推理”核心素養(yǎng)的形成過程中，學(xué)生探究焦點(diǎn)弦長求解的問題本質(zhì)，建構(gòu)焦點(diǎn)弦長求解的“結(jié)構(gòu)化”知識(shí)框架，從而在解題分析中培養(yǎng)學(xué)生形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì).

（三）方法3：定義法

過A，B兩點(diǎn)分別向x軸作垂線AA1，BB1，A，B為垂足，則點(diǎn) A的橫坐標(biāo)為+

11|FA|·cosθ，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-| FB|·cosθ.

以下解法同方法1.

點(diǎn)評(píng)：定義法是利用圖形結(jié)構(gòu)化（幾何直觀和空間想象）感知試題的形態(tài)與結(jié)構(gòu)變化理解和解決數(shù)學(xué)問題（主要包括：借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系；構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路），培養(yǎng)學(xué)生“直觀想象”核心素養(yǎng)，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用圖形和空間想象思考問題的意識(shí)，提升數(shù)形結(jié)合的能力.

（四）方法4：（參數(shù)）方程法

以下解法同方法1.

（五）方法5：極坐標(biāo)法

以圓錐曲線的焦點(diǎn)（橢圓的左焦點(diǎn)、雙曲線的右焦點(diǎn)、拋物線的焦點(diǎn)）為極點(diǎn)，過極點(diǎn)引相應(yīng)準(zhǔn)線的垂線的反向延長線為極軸，則圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程為ρ=其中e為離心率，p是焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離.

以下解法同方法1.

點(diǎn)評(píng)：（參數(shù)）方程法與極坐標(biāo)法使學(xué)生解題結(jié)構(gòu)化，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)，即對(duì)試題進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)、用求弦長知識(shí)與方法構(gòu)建極參數(shù)模型解決問題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，增強(qiáng)解題的創(chuàng)新意識(shí).

二、橫向“融通”設(shè)計(jì)——讓數(shù)學(xué)思維“合”起來

圓錐曲線焦點(diǎn)弦長有關(guān)高考題內(nèi)容，從題設(shè)上與有關(guān)文獻(xiàn)[2]-[8]給出的公式看并不關(guān)聯(lián)，且公式形態(tài)各異，但深入探究分析，就能發(fā)現(xiàn)它們內(nèi)部隱藏的結(jié)構(gòu)聯(lián)系.引導(dǎo)學(xué)生依托“數(shù)據(jù)分析”與結(jié)論“化歸”，探索解題本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律，尋找它們之間的共性，將原本割裂的內(nèi)容通過一條“結(jié)構(gòu)化”暗線（萬能公式）統(tǒng)“歸”起來，實(shí)現(xiàn)焦點(diǎn)弦長求解的“結(jié)構(gòu)化”.

（一）試題結(jié)構(gòu)化“化歸”

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)例題作如下類型“化歸”.

【例題“化歸”類型】已知F為圓錐曲線C的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，試分別求下列圓錐曲線C時(shí)（見表1）|AB|+| DE|的最小值.

表1

（二）解題結(jié)構(gòu)化“轉(zhuǎn)換”

基于上述6個(gè)題組，為了引導(dǎo)學(xué)生，給出一個(gè)通用定理.

【定理】已知點(diǎn)F和直線l是離心率為e的圓錐曲線C的焦點(diǎn)和對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為p.過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，且弦AB，DB均為焦點(diǎn)內(nèi)分弦，則：

（2）| AB|+| DE|=

為了證明上述【定理】，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)高中教材數(shù)學(xué)圓錐曲線方程作了拓展，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析，通過圓錐曲線定義法推導(dǎo)，形成如下引理.

【引理】已知點(diǎn)F和直線l是離心率為e的圓錐曲線C的焦點(diǎn)和對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為p.過點(diǎn)F的弦AB與曲線C的焦點(diǎn)所在的軸的夾角為 θ(θ∈(0]［考慮到圓錐曲線關(guān)于通過焦點(diǎn)的對(duì)稱軸對(duì)稱，θ∈,π)時(shí)，θ用其補(bǔ)角（π-θ）代替］，則有焦半徑|AF|=（ 內(nèi)分 弦 ）、|AF|=（外分弦）；較短焦半徑|BF|=（內(nèi)分弦）、| BF|=（外分弦）；焦點(diǎn)弦的弦長| AB|=（內(nèi)分弦）、| AB|=

利用【引理】易證明上述【定理】（證明內(nèi)容略）.以下利用【定理】解答文章開頭兩道高考題.

【例題解析】令 e=1，則易得(| AB|+| DE|)min=8p，可快速口算出來答案：(| AB|+| DE|)min=8×2=16.

【2008年全國Ⅰ卷（理）第22題解析】

（3）由【定理】得：(| AB|+| DE|)min=

（三）考點(diǎn)結(jié)構(gòu)化“拓展”

引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用定理對(duì)上述圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（類型I-III共6種題組）進(jìn)行解題結(jié)構(gòu)化，形成多題“歸一”結(jié)論：（| AB|+| DE|）min=

三、多向“融通”——讓數(shù)學(xué)運(yùn)用“連”起來

數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是有時(shí)奇妙、有時(shí)龐雜的系列題，猶如一張復(fù)雜的大網(wǎng)，筆者引導(dǎo)學(xué)生將上述考題結(jié)構(gòu)“融通”，內(nèi)容“結(jié)構(gòu)化”，將數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行多向相連、多維相整合，有關(guān)考點(diǎn)通向“四面八方”與“九九歸一”.培養(yǎng)學(xué)生“邏輯推理”素養(yǎng)（歸納、類比、演繹）與數(shù)學(xué)抽象思維能力（從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)術(shù)語予以表征），從而啟發(fā)學(xué)生通過抽象、概括去認(rèn)識(shí)、理解、把握?qǐng)A錐曲線弦長的求解本質(zhì)，由此學(xué)生建構(gòu)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)才能越牢固，越具連續(xù)性和發(fā)展性.

圓錐曲線焦點(diǎn)“弦長”問題歷來是高考解析幾何中的重要題型之一，由于此類問題形式多變、方法靈活，學(xué)生常常感到數(shù)學(xué)思想上難以澄清、解題方法上難以抉擇.引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圓錐曲線焦點(diǎn)弦“弦長”計(jì)算分析與推理，歸納出圓錐焦點(diǎn)弦長計(jì)算的萬能公式：對(duì)此類問題的求解具有一定的規(guī)律性與簡捷性.此公式解決了諸多文獻(xiàn)[2]-[8]焦點(diǎn)弦長計(jì)算公式或因分類討論、或因焦點(diǎn)位置不同等推出公式呈現(xiàn)形式不一、復(fù)雜難記的缺陷.

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生分析高考命題規(guī)律與解題策略：焦點(diǎn)弦長計(jì)算萬能公式涉及四個(gè)參數(shù)：弦長| AB|、焦準(zhǔn)距p、焦點(diǎn)弦所在直線傾斜角θ、離心率e，“知三求一”，達(dá)到“舉一反三”析題效果.

（一）求焦點(diǎn)弦長（或焦半徑）

【試題1】［2007年全國Ⅰ卷（理）第21小題］已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．過F1的直線交橢圓于B，D兩點(diǎn)，過F2的直線交橢圓于A，C兩點(diǎn)，且AC⊥BD，垂足為P.

（Ⅰ）略；

（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積的最小值.（參考答案：最小值為）

【試題2】［2000年全國卷（理）第11小題］過拋物線y=ax2(a＞0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若PF與QF的長分別是p，q，則+等于（）（參考答案：C）

（二）求直線傾斜角θ（或斜率k）

【試題3】（2012年江蘇卷第19題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的 左 、右 焦 點(diǎn) 分 別 為F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0).已知 (1，e)和都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率.

圖1

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線 AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點(diǎn)P.

1率；（參考答案：

（ii）略.

【試題5】［1983年全國卷（理）第10小題］已知橢圓長軸|A1A2|=6，焦距|F1F2|=4，過橢圓焦點(diǎn)F1作一直線，交橢圓于兩點(diǎn)M，N，設(shè)∠F2F1M=α（0≤α＜π）.當(dāng)α取什么值時(shí)，|MN|等于橢圓短軸的長？（參考答案

（三）求焦準(zhǔn)距 p

【試題6】［2009年福建卷（理）第13題］過拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線，交拋物線于A,B兩點(diǎn)，若線段| |AB的長為8，則p=____.（參考答案：2）

【試題7】［2015年上海卷（理）第5題］拋物線y2=2px（p＞0）上的動(dòng)點(diǎn)Q到焦點(diǎn)的距離的最小值為1，則p=_____.（參考答案：2）

（四）求離心率e

（2）略.

【試題9】［2010年全國Ⅰ卷（理）第16題］已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長線交C于點(diǎn)D，且則C的離心率為_____（.參考答案：

［1］史寧中，林玉慈，陶劍，郭民.關(guān)于高中數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——史寧中教授訪談之七［J］.課程·教材·教法，2017（4）：8-14.

［2］羅榮建.橢圓雙曲線焦點(diǎn)弦問題新解［J］.文山學(xué)院學(xué)報(bào)，2013（3）：37-41.

［3］馬興奎.圓錐曲線焦點(diǎn)弦問題探究［J］.數(shù)學(xué)通訊（上半月），2014（11/12）：22-24.

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