探究初中數學中一次函數與方程的關系

廖小舟

摘 要：在初中數學教材中，一次函數與方程歷來是學習的重點，而在新人教版教材中，也是學生必須要掌握的學習內容。如此才能更好地幫助學生分析數學在生活中遇到的難題，以此運用一次函數與方程的關系進行解決，利用函數圖像的變化規律來判斷事物發展的態勢，從而規避生活中可能出現的風險，這就是引導學生學習一次函數與方程課程的重要目的，引導學生樹立此種思維分析

模式。

關鍵詞：初中數學：一次函數與方程的關系；新人教版

一、學生在學習一次函數與方程時出現的問題

很多學生在剛接觸一次函數與方程時普遍反應很難，根本不知所云，這已經成為普遍現象。其實單獨看待方程學生反而更容易理解，若單獨學習函數，學生也能普遍跟上節奏，但是當二者相互抵和時，學生則混沌不清。這說明學生對這些內容的理解相對片面，不能真正掌握其精髓，以至于難度稍微增加，則感覺非常吃力。這部分內容要想徹底學好學通，學生必須要對二者的關系有個深刻的認識，這也是本文內容所要講述的重點問題。只有在對二者關系清晰理解的情形下，學生才能對所學內容有個清楚的認識，這樣在做題時才不會無從下手。

二、簡要概述一次函數與方程的關系

1.一次函數與一元一次方程的關系

一次函數的解析式為y=kx+b，其中k和b都表示常量，且k≠0。而在求解直線y=kx+b與x軸的交點時，可使得y=0，同時還要求k≠0，則得到kx+b=0，以此按照方程運算法則進行相應計算，則得出x=-■，即直線y=kx+b交x軸于（-■，0），也就是說

-■就是直線y=kx+b與x軸的交點坐標，這也就是二者的關系所在，可以進行有機轉化，互相表示；還可以利用函數圖像的方法將方程的結果具體在數軸上表示出來，從而幫助學生進行題目的理解。

2.一次函數與二元一次方程（組）的關系

通過一次函數與一元一次方程的關系不難判斷出一次函數與二元一次方程（組）的關系，其二元一次方程（組）的最終結果也可以利用函數圖像在數軸上具體表示出來。需要注意的是，一次函數的解析式y=kx+b的本身就是二元一次方程的表示，所以當k≠0時，圖像上有好多的點表示y=kx+b的解，也就是說二元一次方程的解有無數個。這是不同于一元一次方程的表示，呈現得更為全面，符合整個解結果的范圍，更加能夠清晰地表示圖像的走勢等內容，這也是學生學習的重難點。通過將二者的關系條分理析，學生在做難度稍大的題目時也更容易尋找突破點，從而將其攻破。

三、具體分析一次函數與方程的應用

1.一次函數與一元一次方程的應用

在新人教版的教學中，我們不難發現函數這一內容的例題設置都與方程有緊密的聯系，如例題：“已知直線y=（3m+2）x+2和y=-3x+6交于x軸上同一點，則m的值為多少？”在看到此類問題時，好多學生就抓緊時間拿出筆來進行計算，這是筆者所不提倡的。所謂“書讀百遍，其義自見”，在做題中也是如此。學生應該就題目做出簡要分析，了解題目已知條件中的具體含義再進行計算，以免匆忙中出現錯誤。此題中交代兩條直線同時交于x軸上同一點，則含義為兩條直線都是y=0的情形下得出的，知道此含義后則將再進行計算也就更加容易了，即y=（3m+2）x+2=-3x+6=0，解得m=-1。至此這問題得到圓滿的解答，由此我們還可以進一步分析，由m=-1代入原式中，得出y=-x+2。在此種情形下則進一步分析出該函數的具體解析式，學生在進行圖像表示時也就方便計算了。此題名義是解答函數問題，但其計算過程卻是方程計算的應用法則，這也就是數學學科的奧秘之處，彼此能夠相互轉化相互促進相互利用，學生在學習此內容后有助于思維觀念的發散與

開拓。

2.一次函數與二元一次方程的應用

如例題已知方程組y-ax=c，y-kx=b其中a、b、c、k均為常數，且ak≠0的解為x=-2，y=3，則直線y=ax+c和直線y=kx+b的交點坐標為多少。這一類型的題目也是常考的范圍，除了運用方程組的相關內容外還涉及一次函數與其的聯系，并且進一步升華求所在直線的交點坐標。同理學生在明確題目內容后在進行下手計算，由已知條件出發，將x=-2，y=3直接代入方程組中則化為y=ax+c。y=kx+b，由此再進行計算得出方程組的交點坐標為（-2，3）。值得一提的是，很多學生被題中的字母表示迷惑，感覺無從下手，題目中明確告知其中a、b、c、k均為常數，且ak≠0，則我們就可以認為這些字母是已知的確定的數字，這樣再解答題目就非常容易了。很多難題的設置都有其突破口，引導學生學會找尋突破口，是指引學生學習函數與方程關系的重要方法，當學生遇到問題，就能運用自己熟練掌握的知識進行分析、理解。比如可以用解方程的形式來解答，也可以用函數圖像的形式來表現，只要將問題理解清楚，讓步驟具有條理，這就是做題的意義。能夠讓學生學會活學活用、靈活變通。

綜上所述，初中數學中進行一次函數與方程內容的學習不僅能夠拓寬學生的知識理解、解題技巧，還能夠幫助學生將所學內容進行靈活轉化、隨機應變，讓學生的數學思維能力更加多元化，富于創造力。

參考文獻：

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編輯 李博寧