高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思考與探索

仲寅生

（廣元廣播電視大學(xué)，四川 廣元 628017）

高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思考與探索

仲寅生

（廣元廣播電視大學(xué)，四川 廣元 628017）

高等數(shù)學(xué)是農(nóng)科與理工科的一門公共課程，且與其他專業(yè)有著極為密切的關(guān)聯(lián).而數(shù)學(xué)建模作為聯(lián)系高等數(shù)學(xué)理論與高等數(shù)學(xué)知識實際應(yīng)用之間的紐帶，唯有掌握數(shù)學(xué)建模的思想，才能進(jìn)一步學(xué)好高等數(shù)學(xué)，進(jìn)而促進(jìn)其他專業(yè)的發(fā)展.本文通過分析數(shù)學(xué)建模融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體步驟，并根據(jù)實際情況提出高中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的途徑，以便能夠全面提升高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)效率，幫助學(xué)生進(jìn)行拓展訓(xùn)練，有效增強(qiáng)高等學(xué)校學(xué)生的核心素養(yǎng).

高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；實際運用

高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的實際運用意識與能力固然重要，但若能讓學(xué)生掌握建模的思想與方法，將能在極大程度上幫助學(xué)生理解高等數(shù)學(xué).且將建模的思想與方法融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，還將有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、思考問題以及解決問題能力的提升.因此，作為高等數(shù)學(xué)教師，在實際的教學(xué)過程中，應(yīng)注重教學(xué)與建模思想的結(jié)合，并采取有效的教學(xué)方法，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的發(fā)展.

1 在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的作用

將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生積極主動的學(xué)習(xí)與思考.還將有利于學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生概括、歸納、創(chuàng)新等綜合能力的發(fā)展.因此，作為高等數(shù)學(xué)教師，其在實際的教學(xué)過程中，應(yīng)對數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)中的運用給予足夠重視，進(jìn)而積極利用數(shù)學(xué)建模思想，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而確保良好的教學(xué)效果.

1.1 置身現(xiàn)實情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲和學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生運用知識解決生活問題的能力

傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)，教師往往過于注重知識的傳授、公式的推導(dǎo)以及定理的證明.簡言之，即教師的目光主要集中在了理論知識層面，其所追求的往往是嚴(yán)密的邏輯與完美的推理.而這樣的教學(xué)方式，常使學(xué)生感到難以理解，久而久之，也便失去了學(xué)習(xí)的信心.對此，數(shù)學(xué)建模思想的引進(jìn)將在一定程度上對原本的定理、概念起到有效的簡化作用，繼而方便學(xué)生理解，并由此讓學(xué)生感受到高等數(shù)學(xué)的實用價值，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，從而促使學(xué)生積極、主動的展開更深層次的探索.如針對固定起點最短路程的相關(guān)內(nèi)容教學(xué)，教師便可采取如下方式進(jìn)行問題設(shè)計：最短路是一條路徑，且最短路的任一段也是最短路，現(xiàn)假設(shè)于—中只取一條最短路，則從到其余定點的最短路將構(gòu)成亦可以的根的數(shù).

針對以上題目，通過引進(jìn)數(shù)學(xué)建模的思想，將能讓學(xué)生觀察更為直觀、形象，繼而有利于激發(fā)學(xué)生解決問題的欲望，相應(yīng)的也提升了學(xué)生對高等數(shù)學(xué)知識的實際運用能力與解決問題的能力.

1.2 提升學(xué)生概括、歸納的能力，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識

無論社會或個人，要想獲得長足、穩(wěn)定的發(fā)展，便必然需要不斷地創(chuàng)新.唯有創(chuàng)新才能為社會乃至個人生活增添內(nèi)動力，進(jìn)而促進(jìn)社會或個人的發(fā)展.對此，數(shù)學(xué)模型在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用便有利于學(xué)生創(chuàng)新能力的發(fā)展，且對學(xué)生創(chuàng)新意識的激發(fā)亦能起到良好的促進(jìn)作用，從而確保學(xué)生的全面發(fā)展.

2 高等數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)建模的具體步驟

數(shù)學(xué)建模的過程，實則亦可將其視之為對實際問題的簡化或?qū)?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的重新梳理過程.與此同時，在數(shù)學(xué)建模的牽引下，學(xué)生在收集相關(guān)數(shù)據(jù)資料時，還將有利于掌握對象固有的特征一級內(nèi)在規(guī)律，繼而通過觀察問題的主要特征，以反映問題真實的數(shù)量關(guān)系，從而方便利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法與理論去解決問題.

通常，數(shù)學(xué)建模的過程需歷經(jīng)準(zhǔn)備、假設(shè)、建立、求解、分析以及檢驗等多重環(huán)節(jié).其中，模型的準(zhǔn)備是為了掌握研究對象的信息而進(jìn)行了關(guān)于問題實際背景以及意義的調(diào)查，進(jìn)而方便利用數(shù)學(xué)思想來探索問題的精髓，從而將數(shù)學(xué)思想貫穿于問題的全過程，以實現(xiàn)以數(shù)學(xué)語言來表達(dá)問題.對此，關(guān)于模型的假設(shè)便必然需要與數(shù)學(xué)的理論相吻合，且需照顧到數(shù)學(xué)的習(xí)慣，如此方能確保條理的清晰與準(zhǔn)確.當(dāng)然，考慮到數(shù)學(xué)模型的建立是基于假設(shè)的前提，因而針對各量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，可適當(dāng)利用數(shù)學(xué)工具來表達(dá).至于之后的求解則是利用前期所獲取的數(shù)據(jù)資料來模擬計算模型的所有參數(shù)，以進(jìn)一步明確模型的建立思路，進(jìn)而方便展開數(shù)學(xué)上的分析.最終通過比較并分析模型分析結(jié)果與實際情形，以此來對模型的準(zhǔn)確性與合理性進(jìn)行驗證，若兩者吻合，則需給對相應(yīng)結(jié)果的實際含義進(jìn)行解釋，反之則需對假設(shè)進(jìn)行修改，使其滿足以上條件.

在許多領(lǐng)域中，都能見到數(shù)學(xué)建模的身影，如疾病的預(yù)測便是一個絕佳的典范，如針對某類病菌感染情況的預(yù)測，首先需對該并需的危害、潛伏期以及傳播途徑等基礎(chǔ)知識進(jìn)行了解，而之后的數(shù)學(xué)建模則分別做出以下幾種假設(shè)，分別為：

（1）現(xiàn)有感染者與單位時間感染人數(shù)的比例；（2）現(xiàn)有感染者與單位時間內(nèi)痊愈人數(shù)的比例；（3）現(xiàn)有感染者與單位時間內(nèi)死亡人數(shù)比；（4）患者痊愈后不再次出現(xiàn)感染現(xiàn)象；（5）忽略自然死亡的現(xiàn)象；（6）忽略遷移現(xiàn)象.

以以上假設(shè)為基礎(chǔ)，設(shè)I(t)為t天時，病菌感染著數(shù)，b(t)為感染數(shù)，d(t)為死亡率，c(t)為治愈率，則模型的建立應(yīng)為：

根據(jù)感染此病句數(shù)據(jù)按天公布之特點，進(jìn)而得出I(t+1)=I(t)+r(t)I(t).至此，只需了解病菌最初的感染人數(shù)及其函數(shù)r（t），則可利用該模型進(jìn)行預(yù)測.

3 數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的途徑

高等數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的實際運用意識與能力固然重要.但若能讓學(xué)生掌握建模的思想與方法，將能在極大程度上幫助學(xué)生理解高等數(shù)學(xué)，且將建模的思想與方法融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，還將有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、思考問題以及解決問題能力的提升.一切數(shù)學(xué)的概念與知識均是由現(xiàn)實世界所構(gòu)建的各種模型中抽象而來，因而針對數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，利用建模的思想將是最佳手段.對此，作為高等數(shù)學(xué)教師，其在實際的教學(xué)過程中，應(yīng)時刻滲透數(shù)學(xué)建模的思想，并注重將數(shù)學(xué)建模的思想滲透至高等數(shù)學(xué)的各個角落，包括問題的應(yīng)用、基本概念的應(yīng)用高一級課后作業(yè)的滲透，注重教學(xué)與建模思想的結(jié)合，并采取有效的教學(xué)方法，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力的發(fā)展.

3.1 在概念引入時滲透數(shù)學(xué)建模思想

眾所周知，數(shù)學(xué)來源于生活，因而針對數(shù)學(xué)概念的形成過程也硬背學(xué)生所熟知，如此方有利于學(xué)生在面對生活中的實際問題時，嘗試引進(jìn)數(shù)學(xué)相關(guān)概念，進(jìn)而從多角度去體會，以抽象出客觀事物的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而了解實際問題的數(shù)學(xué)原理，從而建立與其他領(lǐng)域之間的聯(lián)系.

例如，針對導(dǎo)數(shù)概念的引進(jìn)，教師便可首先引導(dǎo)學(xué)生就導(dǎo)致的本質(zhì)，即相對變化率的極限展開思考，隨后通過建立與實際問題之間的聯(lián)系，嘗試運用數(shù)學(xué)模型，從而深化學(xué)生對導(dǎo)數(shù)本質(zhì)概念的理解.當(dāng)然，在實際的教學(xué)過程中，教師除了引用經(jīng)典例子外，還可參照實際問題，如經(jīng)濟(jì)模型中的成本變化率、人口模型中的出生與死亡率等.通過對照實際原型，以從中篩選出有價值的數(shù)據(jù)與信息，繼而通過建立數(shù)學(xué)模型的方式來達(dá)到解決問題的目的.

3.2 在數(shù)學(xué)應(yīng)用時體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想

在實際的教學(xué)過程中，為進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想，教師可在學(xué)生學(xué)完每一章節(jié)的知識后，聯(lián)系實際應(yīng)用設(shè)計一些與本章內(nèi)容相關(guān)的問題，而后要求學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型對問題進(jìn)行合理的簡化與建設(shè)，繼而求出問題的答案.與此同時，教師還可在此前數(shù)學(xué)建模經(jīng)典范例的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄U(kuò)充，使其范圍不再局限于幾何、物理等領(lǐng)域，而是涉及更多方面，如生物、生態(tài)、交通、經(jīng)濟(jì)管理等.通過對這些實例的研究，一方面能可促使學(xué)生初步掌握建模的方法，另一方面則是有利于學(xué)生分析問題與解決問題能力的提升，繼而讓學(xué)生感受到高等數(shù)學(xué)于實際生活的重要作用，從而充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的獨特魅力與價值，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)興趣，最終確保良好的教學(xué)校規(guī).

例如，當(dāng)進(jìn)行微分方程的相關(guān)內(nèi)容教學(xué)時，教師便可將歷史上的著名問題引進(jìn)課堂，如人口增長預(yù)報模型，贗品鑒定問題等.

3.3 在課程大作業(yè)中突出數(shù)學(xué)建模思想

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引進(jìn)數(shù)學(xué)建模的思想，除了要求學(xué)生要熟練掌握基本的數(shù)學(xué)概念、原理以及方法同時，還需對建模的思想與方法有相當(dāng)程度的了解，如此方能達(dá)到解決有難度實際問題的目的，而這樣的目的僅是利用現(xiàn)有的課時還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，因而作為高等數(shù)學(xué)教師，可充分利用課程大作業(yè)環(huán)節(jié).其中包括總結(jié)性的論文、與生活密切相關(guān)的綜合性應(yīng)用題以及數(shù)學(xué)方法的實現(xiàn)等.如此方能進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生綜合分析問題以及解決問題能力的發(fā)展，繼而增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的實際應(yīng)用意識.當(dāng)然，在課程大作業(yè)中，教師還可提出許多現(xiàn)實問題，然后要求學(xué)生從中抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，以此突出數(shù)學(xué)建模思想并提升學(xué)生的建模能力，進(jìn)而達(dá)到解決實際問題的目的.

3.4 融入數(shù)學(xué)建模思想的教學(xué)案例

針對在高等數(shù)學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想，相應(yīng)的也給任課教師提出了一定的要求.任課教師必須對相關(guān)專業(yè)知識了若指掌，且具備較寬的知識面，方可對學(xué)生進(jìn)行有效的指導(dǎo)，進(jìn)而讓學(xué)生感受到建模對學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要幫助.在實際的教學(xué)過程中，教師還應(yīng)結(jié)合各章節(jié)的具體內(nèi)容，選取其中最具代表性的案例，將數(shù)學(xué)建模的思想融入其中.

例如，針對函數(shù)極限中與“存款”相關(guān)的問題，教師便可通過數(shù)學(xué)建模思想的引進(jìn)讓學(xué)生感受極限在生活中的實際運用；當(dāng)學(xué)習(xí)函數(shù)的零點存訂立后，則可提出相應(yīng)的“登山問題”；當(dāng)學(xué)習(xí)數(shù)列時提出“生小兔問題”以及學(xué)習(xí)定積分后提出的“訂貨存儲問題”.

在實際的教學(xué)過程中融入創(chuàng)新意識，教師具體可通過一題多解的方式，要求學(xué)生尋求新的解題思路與方法，進(jìn)而加強(qiáng)對學(xué)生創(chuàng)新意識的培養(yǎng).高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，遇到難解的難題是極為常見之事.若此時能勇于打破常規(guī)，便可能收獲意想不到的效果.如針對求極限、求不定積分的一題多解以及與最優(yōu)價格問題相關(guān)的建模.

應(yīng)用意識的引進(jìn)，其主要目的在于通過解決一些實質(zhì)性的問題，來讓學(xué)生感受到相關(guān)知識的具體應(yīng)用，進(jìn)而懂得運用什么方法講課解決怎樣類型的問題.與通過零點定理便可有效解決諸如“存款”“極限”以及“登山”一類的問題.與此同時，應(yīng)用意識的融入還將有利于實踐意識的激發(fā)，如極限、定積分等文斗都是融入實踐意識的有效載體.

某些對生活現(xiàn)象的解釋，或經(jīng)過轉(zhuǎn)化后最后得以解決或證明，這便是模型化意識融入的最大幫助.與此同時，融入模型化意識，還將有利于將具體問題符號化，進(jìn)而方便以模型化的方式進(jìn)行處理.如Fibonacci數(shù)列便可運用模型化的思想去進(jìn)行轉(zhuǎn)化，且模型化后的結(jié)果，無論是在應(yīng)用或是推廣等各方面都更具價值性.

總之，將數(shù)學(xué)建模的思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅有利于學(xué)生的發(fā)展與提高，且對青年教師而言，亦可同等收益.因而針對數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)中的引進(jìn)應(yīng)當(dāng)因其廣大高等數(shù)學(xué)教師的廣泛重視，并在實際的教學(xué)過程中注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想，如此方有利于學(xué)生解決實際問題能力的發(fā)展，且將帶動學(xué)科教育的共同進(jìn)步，進(jìn)而促進(jìn)教師與學(xué)生整體水平的提高.

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