案例法在微積分教學中的應用

趙彥勇　劉原

摘 要 本文研究了案例法在“微積分”教學中應用的作用和意義，指出了微積分教學中案例選擇的四個要求，以及采用案例法在微積分教學中實施的四個步驟。在微積分的教學中采用案例教學法能很好地調動學生的學習積極性和主動求知欲，讓學生在輕松愉悅的環境中最大限度地獲取知識，培養數學思維和數學意識。

關鍵詞 微積分 案例法 選擇 實施

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2017.09.046

Abstract This paper studies the case teaching method in "calculus" teaching function and significance of the application. It points out the case teaching method choose four requirements in calculus teaching and the implementation of four steps in the case method in the calculus teaching. Using case teaching method in the teaching of calculus can be a very good way to mobilize students' learning enthusiasm and the initiative intellectual curiosity. It can make the student relax and pleasant environment to maximize access to knowledge， and train their consciousness of mathematical thinking and mathematics.

Keywords calculus； case teaching method； choice； implementation

0 引言

微積分（Calculus）是高等數學中研究函數的微分（Differentiation）、積分（Integration）以及有關概念和應用的數學分支，它是解決變量問題的數學，是數學學科中的一個基礎學科。[1]微積分的內容主要包括極限、微分學、積分學及其應用。微積分的教學肩負著激發學生數學學習興趣、培養學生數學素養、為其它后續課程打好基礎的重任。在微積分的教學過程中，課堂教學尤為重要，教師如何充分地利用課堂時間，最大限度地激勵學生的學習興趣，更好地傳授知識取決于教師的上課模式。

在傳統的教學方法中，教師扮演著傳授知識者的角色，教師上課往往以講授為主，教學方式簡單，課堂容量大，但是，這種方法無法最大程度地激發學生的學習興趣，不利于知識的傳授，學生對所學的內容也是一知半解。因此，我們在微積分的教學中嘗試使用案例教學法。案例教學法是一種以案例為基礎的教學法（case-based teaching），案例實際上是在課堂中展現一種教育的兩難情境，沒有明確的解決問題的辦法和思路，教師在課堂中作為引導者積極鼓勵學生勇于參與討論，表達自己的觀點和想法，教師與學生共同思考找到解決問題的思路和辦法。1920年代，美國哈佛商學院倡導采用案例教學法教學，以商業管理的真實情境或事件為教學案例，這種教學方法能有效地培養學生主動參與課堂討論的積極性，激發學生的學習興趣。實施之后，頗具成效。直到1980年代，案例教學法才受到教育界廣泛的認同和重視，特別地，1986年在美國卡內基小組提出的《準備就緒的國家：二十一世紀的教師》的報告書中，特別強調案例教學法在師資培育課程中的價值，并將案例教學法視為一種十分有效的教學模式進行推廣。1990年代以后國內教育界開始嘗試和探究案例教學法，至今，案例教學法在現代教學中得到了廣泛的認可并推從。

1作用

在微積分教學中應用案例法是把典型的實際問題展示在學生面前，讓學生獨立地去思考、分析并進行討論，它主要起到三方面的作用：激發學生的學習興趣、調動學生學習的主動性；培養學生分析問題和解決問題的能力；理論與應用相結合，縮小理論與實際的距離。實踐證明，運用“案例法”能收到良好的教學效果。

1.1 激發學生的學習興趣、調動學生學習的主動性

微積分的教學理論性強、方法復雜多變，單憑老師上課的講解難免讓學生覺得枯燥無味，難以調動學生學習的積極性。而通過案例教學可以提供實際案例由簡單到復雜，讓學生身臨其境主動去思考解決問題的辦法。同時在教師的引導下，讓學生積極大膽地參與討論，發表自己的看法和思路，在輕松和諧的課堂氛圍中，加深對所學知識的理解，很好地激發了學生的求知欲，調動了學生學習的主動性，教師只是作為引導者參與討論，在必要的時候對學生的觀點提出建議。

1.2培養學生分析問題和解決問題的能力

在微積分的案例教學中，學生需要獨立參與并對案例進行分析和討論，這就為提高學生分析問題和解決問題的能力創造了良好的條件，例如在講授數列極限時引入巴菲特的投資分析：巴菲特以價值投資著稱，收益穩定，年平均投資收益率約為24%。假設他每年收益率為24%，若投入100萬美元，提問學生，（1） 一年后，資產是多少？（2） 兩年后，資產是多少？（3） n年后，資產是多少？讓學生獨立思考后展開討論，這樣會大大地增強教學實效性，加深學生對概念的理解和認識，提高教學效果。有時學生的觀點和想法還會出于教師的意料之外。

1.3理論與應用相結合，縮小理論與實際的距離

案例是現實問題的縮影，將現實問題帶入課堂，讓學生感受到實際的應用，微積分不再是復雜的微分和積分，不再是各種復雜的符號和公式，而是解決生活中遇到的實際問題的工具，我們學習微積分的目的不再是去計算得到具體的答案，而是將理論知識轉換成應用，通過現實中的典型問題，讓學生進入典型案例情景，設身處地地去分析問題，為學生提供一種不用真正身臨其境地深入到實踐，但卻能處理大量典型實際問題的機會，縮短理論與實際的距離。endprint

2微積分教學中案例選擇的要求

在微積分的教學中選擇案例時首先要注意選取與微積分有關的案例，具體要做到以下幾點：

（1）具有明確的目的性。我們在選取案例時是為了解決微積分中的某個知識點，一定要圍繞這個知識點去選取合適的案例，例如上文中提到的，為了引出函數的極限我們引入巴菲特的投資分析。

（2）具有較強的趣味性。案例教學法的主要特點就是通過具有趣味性的案例和教學激發學生的學習興趣，通過具有趣味性的案例將學生的思維帶入另一個場景，而不是面對枯燥乏味的課堂絞盡腦汁地思考和計算。所以，我們在案例的選取時會選用趣味性較強的案例來吸引學生的注意力，激發學生的學習興趣，將知識融入案例，讓學生在輕松愉悅的環境下獲取知識、開發潛能。

（3）具有真實性和實用性。微積分的學習往往比較枯燥乏味，在案例選取時注重真實性和實用性，讓學生運用知識解決現實生活中遇到的問題，很大程度上調動了學生學習的積極性。例如在講授導數時可引入變速直線運動的瞬時速度，曲線的切線斜率，在講授定積分時可從曲邊梯形面積導入。這樣更具有直觀性、真實性。學生既容易接受又容易理解。

（4）具有典型性。所選取的案例應該是學生平時有所了解但是又了解不深的普遍問題，這樣學生就比較有興趣去深入鉆研，例如我們在講授函數極限與最值時通常選取一個典型案例就是易拉罐設計問題。學生都喝過圓柱形易拉罐飲料，如百事可樂、王老吉等，假設要設計一個容積固定的圓柱形容器，其中頂面是其他面厚度的三倍，其底面半徑與高之比為多少時容器所耗材料最少？當容器所有面厚度一樣，問題又會怎樣呢？通過這些典型的案例討論分析，學生學習興趣更大，主動性更強。

3案例教學法在微積分教學中的實施

3.1選擇案例

教師在課前應做好充分的準備，結合《微積分》課本中重要的知識點，選取具有趣味性、真實性、實用性和典型性的案例在恰當的時候提出問題，讓學生主動思考，互相討論解決問題，從而在教師的引導下理解所學知識點。在案例選擇時首先選擇進入課本內容之前的案例，從實際出發，以問題引導，突出探究；然后選擇進入課本時的案例，在講解完基礎知識之后，引入適當的案例，讓學生應用所學知識解決案例中提出的問題，增強學生的成就感，提升學生的學習興趣。

3.2分析案例

在學生理解案例所提出的問題的基礎上，教師引導學生如何分析案例，同時，教師也可以讓學生獨立思考之后進行分組討論，然后每個小組各派代表表述本組觀點，期間可以由教師對各組觀點進行指正或者也可以由其他小組發表不同的意見，最后在討論中大家達成一致，共同完成對案例的分析。讓每個學生都參與到課堂討論中，主動思考，積極表現，在分析案例的同時開拓思維，增長求知欲。

3.3解決案例

通過學生對案例的充分討論與分析，教師引導學生如何去解決問題是案例教學法的關鍵一步，教師應當從案例分析中過渡到運用理論知識解決問題。在循循善誘的引導下讓學生自主思考解決問題的辦法，學生各抒己見，大家互相討論指正。讓學生自主歸納出解決問題的思路和方法，建立數學模型并求解。最后教師對學生的方法進行點評和補充，使學生在實際問題中解決了問題，提高了學習積極性并受到了啟發，大大提高了學生的學習激情。

3.4案例的小結與推廣

案例的小結與推廣是案例教學法中最后一步，也是重要的一步。在解決某一實際案例的基礎上，教師可以提出多個解決此案例的方法讓同學們進行思考與討論。在大家的互動中比較各種方法的優點和缺點，歸納出這些方法的適用類型和特點。讓學生在輕松的環境下更加深刻地理解所學知識。最后，教師再列舉出相關案例讓學生自己動手解決，舉一反三鞏固所學知識，同時也提高了學生解決實際問題的能力。

總之，充分利用課堂時間，讓學生增長知識一直是教師的職責。在微積分的教學中采用案例教學法可以將抽象的理論知識轉化為實際應用的需要，將枯燥乏味的數學公式變成解決問題的工具，很好地調動學生的學習積極性和主動求知欲，讓學生在輕松愉悅的環境中最大限度地獲取知識，培養數學思維和數學意識。

參考文獻

[1] Thomas G B，Weir M D， Hass J， et al. Thomas' Calculus Early Transcendentals[M].Pearson，2010.endprint