在“真學習”中發展合情推理能力

杜學文

【摘 要】合情推理是小學生數學思考的重要能力，合情推理對于學生積累基本數學活動經驗、培養基本數學思想有重要作用。以《鴿巢問題》的學歷案為例，發展學生的合情推理能力可以通過恰當的問題設計、活動設計和學習方式設計展開研究，從而提出情境問題化、問題數學化、數學符號化三條具體的策略。

【關鍵詞】數學活動 數學思想 合情推理 學歷案

一、問題提出的背景

作為重要數學思想方法的推理，既有用于猜想發現的合情推理，又有用于嚴格證明的演繹推理。美國著名數學家莫里斯·克萊因 （Morris Kline）說過，推理的方法是數學最顯著的特征1。另一位美籍數學家波利亞（George Polya）則十分強調合情推理的重要性，他認為演繹推理可用于肯定數學知識，而合情推理可以為猜想提供依據，并倡導在數學教學中必須有猜想的地位，因為數學的學習過程應該反映數學的發明過程2。

我國《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）指出，“合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果……在解決問題的過程中……合情推理用于探索思路，發現結論。”3《課標》相較2003版課標，更加注重過程中的教育，鼓勵學生通過經歷豐富的數學活動，進而感悟數學思想。4

“學歷案”即學習經歷的方案，核心是學生學習“經歷”的設計，包括核心問題設計、有效活動設計和學習方式設計，強調“做”中學和“教”中學。學歷案旨在解決課堂教學中存在的“虛假學習”“游離學習”的問題，實現在課堂情境中最大化的“在學習”“真學習”。5學歷案的這種特點，非常契合《課標》的“經歷數學活動感悟數學思想”的目標。

二、 《鴿巢問題》的教材分析

《鴿巢問題》是人民教育出版社2013年版六年級下冊《數學廣角》的內容，數學廣角是數學教育中滲透數學思想的重要陣地。但是，實際教學中，“數學廣角”存在一個突出問題，即過于關注解決問題的方法，而數學思想的滲透不夠。6

《鴿巢問題》中蘊含的“抽屜原理”（也叫“鴿巢原理”）是組合數學中的一個重要原理，它在幾何、近世代數、高等代數、初等數論、離散數學中有廣泛的應用。“抽屜原理”常見形式有第一抽屜原理和第二抽屜原理；教材內容屬于第一抽屜原理，教材第一節內容是第一抽屜原理的原理1，即“把多于n+1個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里的東西不少于兩件”；教材第二節內容是第一抽屜原理的原理2，即“把多于mn（m×n）+1（n不為0）個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里有不少于（m+1）的物體”；教材第三節內容是簡單構造抽屜的方法。

分析教材不難發現，《鴿巢問題》從小學生身邊的生活事實出發，憑借學生的經驗和直覺，通過歸納、類比等方法推斷出“抽屜原理”，這種發現問題、解決問題的數學思想正是《課標》所講的合情推理。

三、 《鴿巢問題》學歷案介紹

基于《鴿巢問題》的教材分析和授課小學的學情調研，設計以下學歷案。

（一）學習目標

《鴿巢問題》中的抽屜原理是公務員考試、數學競賽中的“熟面孔”，其重要性不言而喻。那么，小學課堂應該讓學生學會什么內容？讓學生達到什么程度的“終點”？

按照美國教育心理學家加涅學習結果類型劃分理論，1“抽屜原理”屬于“智慧技能”中的規則學習，規則學習強調將陳述性知識轉化成學習者的辦事規則，即：將陳述性知識轉化為程序性知識，使學習者經歷“怎么做”的活動過程，進而理解“是什么”。2基于此，《鴿巢問題》的學習重點是經歷“抽屜原理”的發現過程，理解抽屜原理的算理和本質。通過學情調查，了解到授課班級有2～3人接觸過抽屜原因；結合教材分析，將教材第一、二兩節合并為一個課時，確定如下學習目標。

知識與技能：理解枚舉法、平均分法的應用過程；了解至少數的算理和計算方法；理解并能準確說出抽屜原理的內容；會用抽屜原理解決簡單的實際問題。

過程與方法：通過觀察、類比，發現、歸納，從現實情境中發現問題，運用不同的解決方案解決問題，并總結出抽屜原理的內容，提高合情推理的能力。

情感態度與價值觀：通過“抽屜原理”的學習和應用，培養“留心觀察、細心思考”的數學學習習慣，提高解決數學問題的興趣和信心，感受數學的魅力。

（二）學習過程

布魯納認知理論認為，學科內容按照“行為表征、圖像表征、符號表征”的發展順序進行學習，是最優的發展軌跡。為此，學習過程設計如下。

1.游戲導入

興趣是學習者學習的內生力量。如何既能激發學生興趣，又能突出學生主體，并照顧到全體學生？教材以5個學生抽撲克牌為例，這種方法突出趣味性，但要照顧全體學生，實施成本過高。有的老師以搶凳子游戲導入，存在一定安全隱患。

為此，學歷案設計了“石頭、剪刀、布”的游戲，4人一組，老師宣布開始后，全班學生同時出手勢，之后老師說出并板書“不管哪一組，總有一種手勢至少有2個人出”。3隨后，學生再出3～4次，以驗證老師的說法。學生在玩游戲時，好奇于老師的結論并有所質疑，老師借機引出游戲背后蘊含的“抽屜原理”。

本環節在激發學生學習興趣的同時，創設了關于抽屜原理的“行為表征”的情境，提出了待解決的核心問題：為什么“不管……總有……至少……”？

2.合作探究

考慮到學習的效率、直觀性、趣味性，課堂學習中以磁扣和圓圈為工具進行活動設計。本環節的核心問題為“將4個磁扣放進3個圓圈內，一共有幾種擺放方法？”該問題本質是“石頭、剪刀、布”游戲的變式，它將行為問題變式為數學語言形式的問題。

針對該問題，要求學生按小組合作學習，不限制學生解決問題的方法。預設的解決方法有枚舉法（包括畫圖法和算式法）、平均分法，另外考慮到有個別學生參加過課外輔導班，增加反證法和公式法。endprint

本環節通過小組合作學習和結果展示，將數學語言問題用“圖像表征”形式進行解決，其中，畫圖枚舉法、平均分法、反證法都屬于“圖像表征”的方法，算式枚舉法和公式法屬于簡單的“符號表征”方法。同時，不同的解決問題的方法開闊了學生的思路。

3.舉一反三：用“符號表征”總結規律

圍繞上一環節的問題模式，本環節通過舉一反三的方法設計問題和學習活動。一是“磁扣數量和圓圈數量同時加1個”（這種情況是第一抽屜原理的原理1）；二是“增加磁扣數量，圓圈數量不變”；三是“增加圓圈數量，磁扣數量不變”（二和三是第一抽屜原理的原理2）。

設計和開展這種“變化”的活動，目的是使學生不斷經歷觀察、質疑、猜想、驗證、類比、歸納的過程，最終能夠用“符號表征”準確表達抽屜原理的“至少數公式”。

（三）評價任務

本學歷案微課教學中，有老師提出“抽屜原理雖然很重要，但有什么實際價值”的問題，《課標》提出“數學是日常生活中的數學”的理念，為此，設計如下課堂檢測性作業。

1.13個人中至少有2個人是同一個月生日，為什么？

2.現在非常流行用星座測性格，用星座測運勢，你們信嗎？為什么？全國13億人中，至少有多少人是同一星座？

第一道題結合學生自身情況現身說法，很有親切感，其中的數字數量級較小便于計算和驗證。第二道題是小學生比較感興趣的話題，用抽屜原理解決該問題可以發現有很多人是同一星座，他們的“性格和運勢是一樣的”顯然不合理。因此，星座測性格和運勢是不科學的。

通過課堂的評價，不僅檢驗了學生的學習效果，同時將“抽屜原理”回歸生活應用，提高了學生學習數學的興趣。

（四）反思

《鴿巢問題》學歷案經過一次微課模擬授課和兩次小學實際授課。通過授課發現存在一些問題，出現于將教材的一、二小節合并為一個課時進行授課時。本學歷案之所以這么設計，是因為在授課小學的學情調研中發現，約10%的學生參加課外輔導班時接觸過相關知識；合并授課可以讓課堂學習更加緊湊，但不利于學生的認知和接受，這種合并授課的學歷案設計并不通用。

四、發展合情推理的策略

通過《鴿巢問題》學歷案教學與反思，筆者認為學歷案教學模式與發展學生合情推理的路徑不謀而合，同時，發展合情推理可遵循一定的策略。

第一步，情境問題化。即通過學歷案活動設計創設一定的情境，這種情境應遵循趣味性、與教學的相關性、操作的便利性原則；在真實的情境中，或預設生成學習的核心問題。

第二步，問題數學化。即將第一步的情境問題通過“關聯、遷移、類比”等方法，變式為真正的數學問題，將研究鎖定在數學內部。

第三步，數學符號化。 即憑借經驗和直覺，將數學問題通過“行為表征→圖像表征→符號表征”的三次表征、兩次抽象，經歷歸納和類比等過程，運用數學符號推斷出結果并解決問題。

發展學生的合情推理能力，不局限于上述固定的策略與步驟，由于實際教學的多樣性，我們應因地制宜、靈活運用。

（北京聯合大學師范學院 100011）endprint