讀懂學生的“明白”，讓學習自然生長

章穎

“倍的認識”是學生學習相對數量比較的起點。前段時間，在俞正強特級教師工作室團隊活動中，我們對“倍的認識”進行了研究與探討。師父的精彩演繹讓我們嘆為觀止，師父的通理明法讓我們豁然開朗。當我們讀懂學生的明白，學生學習就自然發生，課也自然生動。

一、理解：倍是一種關系

“倍”代表著兩個數量間的比較關系，它產生的前提和基礎是兩者比較，而關鍵是要把其中一方以另一方為標準，分成相同的幾份。對于中高年級即將接觸到的“分數”“百分數”“比”甚至以后的函數等內容的學習，它起著至關重要的作用。要建立“倍”概念，其關鍵和難點是讓學生體會“關系”“標準”。用怎么樣的素材，按怎么的序列，讓學生體會“關系”“標準”，建立“倍”概念？我們先來看看特級教師俞正強的演繹。

A版本

流程一：經驗的激活

1.教學“一樣多”

（1）談話

板書：一樣多

師：把這3個字讀一讀：一樣多。

師：什么時候會用到“一樣多”？

學生自由發言。

師小結：“一樣多”肯定是誰和誰在比多少。

板書：△和○一樣多

⑵拍手游戲

師：請你跟我一樣多，我就跟你一樣多。

師拍3下，學生也拍了3下。

師：為什么剛才拍了3下？

生：老師拍了3下，所以我拍了3下。

生：因為要和老師一樣多。

生：要以老師為準。

師小結：“一樣多”，以老師的3下為標準。

⑶畫一畫

師：我畫△，你們畫○跟我“一樣多”。

①△——○

師：為什么畫1個？

生：老師畫了1個。

②△△△△——○○○○

師：畫了幾個？為什么？

這個環節，俞老師從“一樣多”素材引入，通過“拍手游戲”“畫圖”激活、改造學生“一樣多”的經驗。這里有兩個體驗點，其一是“一樣多”怎么來？在“你和我”的比較中讓學生體會關系；其二是“以我為準”，體會標準。將生活中的“以我為準”改造為數學上的“以誰為標準”。

2.教學“兩個一樣多”

板書：兩個一樣多

⑴拍手游戲

師：讀，懂嗎？

師拍3下。

生1連著拍6下。

生2先拍3下，再拍3下。

師：他們拍得有不一樣嗎？

生1：一個連續拍6下，一個拍3下停一停又拍3下。

師：你為什么拍3下停下后又拍3下？

生2：兩個一樣多，先拍3下，再重復一次。

師：哪位同學拍得好？為什么？

師小結：兩個“一樣多”，先確立“一樣多”，再重復一次。

全班拍手游戲體驗：兩個一樣多。

⑵畫一畫：兩個一樣多

△△→△△ △△

師：為什么要分開？

3.體驗“三個一樣多”（同上）

學生在體驗“兩個一樣多”時，通過對比兩種不同的拍手方法，感受拍“兩個一樣多”的竅門，首先，要以“一個一樣多”為標準，你幾下，我就幾下；其次，體會重復。兩個一樣多，重復兩次；三個一樣多，重復三次。有了拍手游戲對“標準”的體驗，畫圖時學生自然而然能明白將每個一樣多分開或畫圈的“理”。“ 三個一樣多”的體驗也就水到渠成，一氣呵成。

流程二：概念的建立

活動：換個說法

師：我說誰和誰一樣多，你說誰是誰的1倍。（師說生改）

板書： △和○一樣多

△是○的1倍

師：…… 兩個一樣多。

生：……的2倍。

問題1：你能依次說嗎？

問題2：你能用這句話，舉個生活中的例子嗎？誰是誰的幾倍？

“倍”概念不是橫空出世的，它根植于生活經驗“一樣多”。“一個一樣多”改造為“1倍”，“兩個一樣多” 改造為“2倍”，“三個一樣多” 改造為“3倍”，依次類推。“倍”不需要教，只是換個名字，學生自然而然就體會“標準”“關系”，建立了“倍”概念。

流程三：練習

1.填空

△：△△△

○：○○○○○○○○○

問題：○的個數是△個數的 倍。

2.畫○

△：△△

○：

要求：○的個數是△個數的4倍。

3.畫△

△：

○：○○○○○○○○

要求：○的個數是△個數的2倍。

練習在精，不在多。三道練習題，針對三種不同的類型。第一道是求倍數，第二道是求幾倍數，第三道是求1倍數。當我們不明白時，通常用增加作業量來強化。當我們想明白時，作業量是可以減少下來的。

二、討論：倍是一種運算

一直以來，教師教學“倍的認識”都很重視運用豐富的情境、直觀的圖式和多種表征幫助學生理解概念，可謂是使出渾身解數。可學生在運用“倍”概念時仍然會出現許多困難和問題。特別是，當上課后，小朋友看到“倍”就想到乘法。在學生心里，“倍”就是一種運算。我們傳統教學是怎么上的？基本流程如下。

B版本

1.以舊引新

師（出示蝴蝶2只、蜻蜓2只）：它們的只數有怎樣的關系？

生：相等。

師（再出示2只蜻蜓）：現在呢？

生：蜻蜓比蝴蝶多2只。

生：蝴蝶比蜻蜓少2只。

生：蜻蜓是蝴蝶的2倍。endprint

師：“倍”這樣的說法以前聽說過嗎？（許多學生表示聽說過）那今天我們就來研究“倍”。（揭示課題并板書）

傳統教學，“倍”的教學從學生的已有認知出發，不管是設置動物的情境還是花朵的情境，都從說說兩者關系的問題入手。從兩個數量比較多少開始，進而引出兩個數量的“2倍”關系。

2.實踐操作

師：說“2倍”的這位同學是怎樣想的呢？請他上臺把它們分一分、擺一擺，讓其他同學一眼就看出它們之間是2倍的關系。（學生上臺操作）

師：蜻蜓是蝴蝶的2倍，你們都能看出來了嗎？怎么看出來的？同桌交流一下想法。

生4：蝴蝶是2只，蜻蜓有這樣2個2只，就是蝴蝶的2 倍。

師：說得真好！像這樣，以蝴蝶2只為標準，2只看作1份，蜻蜓有這樣的2份，我們就說蜻蜓的只數是蝴蝶的2 倍。

教學時，對“倍”的意義的理解，我們主要通過分一分、擺一擺等操作，讓學生對乘法意義中的“幾個幾”與新知“幾倍”形成關聯；在給出例子后，說出類似這樣的一句話：“我們就說蜻蜓的只數是蝴蝶的2倍。”直接給出了“倍”的概念。因而，小朋友看到“倍”就想到乘法。

3.變式比較

⑴師（繼續出示6只蜜蜂）：現在蜜蜂和蝴蝶有什么關系？你是怎么想的？（學生先獨立思考，然后指名上臺分一分、圈一圈、說一說）

比較：為什么蝴蝶都是2只，而蜻蜓是蝴蝶的2倍，蜜蜂卻是蝴蝶的3倍呢？

學生在交流中逐漸明確：把2只蝴蝶看作1份，別的有幾個2只，就是蝴蝶的幾倍。

⑵師（飛走2只蜻蜓，剩下2只蜻蜓）：現在蜻蜓和蝴蝶有什么關系？你又是怎么想的？（一般學生會有兩種解答：1倍和0倍）

通過全班討論：1倍和0倍，讓學生明白把2只蝴蝶看作1份，蜻蜓2只也是1份，所以說蜻蜓是蝴蝶的1倍。

在變式練習中，通過比較、畫圖等形式，讓學生明白“怎么確定標準”，強化“幾個幾”就是“幾倍”。對于“1倍”和“0倍”之爭，教師往往回頭看“2倍”的建立，遷移得出當兩個物體數量同樣多就是“1倍”。

三、比較：差別在哪里

我們來比較兩種教學流程所呈現的教學意義上的差別。

差別一：對概念內涵的理解不同

這兩種主張，對于知識而言，學生最終要建立“倍“概念，并運用它解決簡單的實際問題。但對知識的獲得過程，兩種主張的差別是巨大的。本文主張（即A版本），要使學生深刻地認識到“倍”是一種關系，其概念原型是生活經驗中的“一樣多”，將學生的“一樣多”改造為數學的“倍”。傳統教學主張的特征是，“倍”是一種運算，其知識基礎是乘法意義的“幾個幾”，使學生對乘法意義中的“幾個幾”與“幾倍”形成關聯。

差別二：對概念學習起點的認知不同

我們將兩種教學流程的導入環節理一理，對比如下。

[環節 A版本 B版本 導入 教學“一樣多”

⑴師板書：一樣多

問題：什么時候會用到“一樣多”？

結論：“一樣多”肯定是誰和誰在比多少

板書：△和○一樣多

⑵拍手游戲

要求：請你跟我一樣多，我就跟你一樣多

師拍3下，學生也拍了3下

結論：“一樣多”，以老師的3下為標準 以舊引新

⑴材料：蝴蝶2只、蜻蜓2只

問題1：它們的只數有怎樣的關系？

結論：相等

⑶材料：蝴蝶2只、蜻蜓4只

問題2：現在它們的只數有怎樣的關系？

結論1：蜻蜓比蝴蝶多2 只

結論2：蜻蜓是蝴蝶的2 倍

揭示課題并板書 ]

A版本從學生的生活經驗“一樣多”引入，B版本從 “蝴蝶和蜻蜓比多少”引入。兩個版本的導入環節不同是基于對概念學習起點的認知不同。一種認為“倍”概念學習起點是學生的生活經驗“一樣多”。另一種認為“倍”概念學習起點是學生的已有知識“比多少”。

筆者認為，“倍”概念的學習起點是生活經驗“一樣多”。第一，生活中，學生積累了大量的“一樣多”經驗。“你和我的本子一樣多”“你有兩個蘋果，我有兩個蘋果，我們一樣多”……豐富的生活經驗利于將“一樣多”改造為“倍”。第二，“一樣多”經驗利于學生體會“關系”與“標準”。在“你和我”的拍手游戲中體會關系；在“以我為準”中，體會標準。將生活中的“以我為準”改造為數學上的“以誰為標準”。 將“一樣多”改造為“倍”，只是換個名字，不需要教，學生自然而然就體會“標準”“關系”。這樣的數學，在學生眼里，是親切的。這樣的學習，在學生心里，是愉悅的。

而B版本，從 “兩個物體比多少”引入，當我們說“蜻蜓比蝴蝶多2 只”，也可以用“蜻蜓是蝴蝶的2 倍”來表示兩者的關系，導致學生將“倍”和“多”相聯系。變式練習時，當蝴蝶和蜻蜓數量相等，有部分學生認為沒有多，就是“0倍”，因而不可避免地產生“1倍和0倍之爭”。回想傳統教學，我們經常用畫圖、操作、比較、說練等多種形式讓學生明白“誰是標準”“誰是誰的幾倍”，學生常常表達不清，或標準說錯了。這正說明B版本的問題所在。

四、結論：想明白，上好課

俞正強老師在《小學數學概念教學的兩種基本樣式》一文中，對概念的意義構建進行了分類。類型一：概念本身能夠在生活中找到原型。學生在生活中因為對原型的經歷，已經具備對該概念所包含的內涵和外延的理解。我們將學生的經驗水平改造為老師的學科水平。

[明白][學生 ] [明白][老師][經驗水平][學科水平][改造型][學習]

類型二：概念本身在生活中找不到原型。學生在生活中沒有關于該概念的任何經歷。我們把這種概念的意義構建表述為：

[空白][學生 ] [明白][老師][輸入型][學習]

按照這兩種分類考察我們對“倍的認識”的定義，應該屬于第一種。知識是有類型的，我們教師首先要想明白概念是哪種類型即“它是什么”，其次想明白概念本身在生活中是否有原型，即“學生是明白的還是空白的”。當我們把這兩個核心問題想明白，其余的選材和立序問題也會迎刃而解。

教師想明白，才是上好課的前提！

（浙江省金華市湯溪鎮中心小學 321000）endprint