如何發展學生的數學核心素養
——從一個Nim型數學游戲談起

□朱夢琪 胡典順

（華中師范大學數學與統計學學院，湖北武漢 430079；華中師范大學教師教育學院，湖北武漢 430079）

如何發展學生的數學核心素養
——從一個Nim型數學游戲談起

□朱夢琪 胡典順

（華中師范大學數學與統計學學院，湖北武漢 430079；華中師范大學教師教育學院，湖北武漢 430079）

玩Nim型游戲沒有運氣的成分，學生可以通過不斷的試驗來找到獲勝的策略.利用數學游戲進行教學，不僅可以提高學生的學習興趣，激發學生的創造靈感，感受數學的奇妙之處，更有助于學生提高觀察和思考的能力，讓學生學會從已知的現象探索未知的部分，提升學生的邏輯思維和運算能力，培養學生的數學核心素養.

Nim型游戲；Fibonacci數；數學核心素養

一、引言

提高一個人的數學水平，就是提高一個人的邏輯判斷能力.數學學習能使人發現事物的內在規律和本質.在數學教學中，教師應該盡量不讓學生去刻意地死記硬背，而是要找出它們背后所蘊含的原理.

弗賴登塔爾認為存在兩種數學，一種是現成的或已完成的數學，另一種是活動的或者創新的數學.完成的數學在人們面前以形式演繹的面目出現，它完全顛倒了數學的思維過程和實際創造過程，給予人們的是思維的結果；活動的數學則是數學家發現和創造數學的過程的真實體現，它表明了數學是一種艱難曲折又生動有趣的活動過程[1].

《普通高中數學課程標準》征求意見稿中提出了六大數學核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.今天，我們大力提倡提升學生的數學核心素養，數學教育工作者對此展開了許多討論.那么，在數學教學中，數學核心素養的教學如何落地？這是我們每個一線教師和廣大的數學教育工作者必須思考的問題.本文通過一個數學游戲闡述在數學教學中如何發展學生的數學核心素養，僅當拋磚引玉.

二、一個Nim型游戲

Nim游戲具有悠久的歷史，它是博弈論中最經典的模型之一.在所有的二人數學游戲中，最有魅力的就是Nim游戲.它的規則十分簡單，但是結論卻無比優美.本文探討的Nim型游戲的定義是有一堆個數為n的棋子，游戲雙方輪流取棋子，滿足：

（1）先手不能在第一次把所有的棋子取完；

（2）每次至少取走1顆棋子；

（3）每次取的棋子數不能超過對手剛取的棋子數的2倍；

表1

（4）取走最后一顆棋子的人為贏家.

三、猜測及證明

我們先從簡單的情形入手，看能否從中發現某種規律.表1中，我們只列出了對玩游戲的人有利的情形，即玩游戲的人都足夠聰明以致在做出選擇時不會犯錯，比如一次取的棋子數盡量不會等于或大于當前棋子數的，因為這樣顯然對手會一次取完剩下的棋子，從而獲得勝利.

由表1，我們可以猜測：當n為Fibonacci數（即2，3，5，8，13，…）時，先手必敗；當 n 為非Fibonacci數時，先手必勝.

我們將從兩個方面對上面的結論進行證明.首先證明當n為Fibonacci數時，先手必敗；其次證明當n為非Fibonacci數時，根據“Zeckendorf定理”，可以對n進行分解，從而先手可以將問題轉化為Fibonacci數時后手先取的情況，故后手必敗.

下面我們用數學歸納法證明當棋子數量為an時，先手必敗.

證明過程如下：

（1）當n=1時，a1=2，先手只能取1顆，顯然必敗，結論成立.

（2）假設當n≤k時，結論成立.下面證明當n=k+1時，結論也成立.

已知當n=k+1時，ak+1=ak+ak-1.

假如先手第一次取的棋子數a≥ak-1，因為ak=ak-1+ak-2＜2ak-1，則后手可以直接取完ak.所以我們可以把ak+1顆棋子看成兩堆，簡稱為k堆（棋子數為ak）和k-1堆（棋子數為ak-1）.

對于k-1堆，由假設可知，先手必敗，即后手總能取到最后一顆.

接著我們來分析后手最后取到的棋子數x的情況.

即對于n=k+1，結論依然成立.

所以我們證明了當棋子數為Fibonacci數時，先手必敗.

接著來看看如果棋子數為非Fibonacci數，會有什么情況發生.這需要借助“Zeckendorf定理”：任何正整數可以表示為若干個不連續的Fibonacci數之和.

不妨舉例進行說明，當n=83時，可以分解為83=55+21+5+2.此時先手先取2顆，后手可以在5顆這一堆中取m1(1≤m1≤4,m1∈N+)顆，無法一次取完全部.由于5是Fibonacci數，所以先取的必敗（先手已經取走開始的2顆，對5顆這一堆而言，輪到后手先取，即后手此時變為實際意義上的先手），即后手必敗，故先手可以取到5顆這堆中的最后一顆.同理后手開始取21顆這一堆，且無法一次取完全部，由于21也是Fibonacci數，即先取的后手必敗，所以先手可以取到21顆這一堆的最后一顆.顯而易見，先手最后同樣可以取到55顆這堆中的最后一顆，從而獲得游戲的勝利.

當棋子數n為非Fibonacci數時，先手為了最快獲得游戲的勝利，可以第一次取走m顆棋子，其中m滿足：

且ij，ij+1，…，ip都是兩兩不連續的正整數；

下面表2表示當n=83時先手為了最快取得勝利的策略（假設后手同樣希望在最短時間內結束游戲），此時第一次取走的棋子數m要滿足以上兩個條件，顯然只能是5+2=7顆：當棋子只剩下最后一堆，即棋子數為Fibonacci數55時，先手需要保證在遵守游戲規則的前提下使得每次取完后的棋子數仍然為Fibonacci數，即可取得最終勝利.

表2

四、結語

一個簡單的Nim型游戲竟然會和Fibonacci數產生聯系，多么神奇啊！這不禁讓人聯想到正多邊形作圖問題與費馬數的結合，費馬應該怎么也不會想到他發明的費馬數會在100多年后被高斯用來解決2000多年前古希臘時期的正多邊形作圖問題.這也正是數學極具魅力的地方：看似完全沒有關系的問題竟然可以通過出乎意料的方式聯系在一起.但這種發現需要的并不僅僅是天馬行空的想象力，同樣需要一定的數學核心素養，包括邏輯推理、直觀想象和數學運算等等.

本文探討的Nim型游戲最有趣的地方是不管游戲進行到了哪一步，對兩名玩家的其中一個一定存在著一個取勝的策略，玩這個游戲并沒有運氣的成分，任何人都希望在游戲中獲得勝利，這也使得游戲的教學會激發學生的好勝心，從而促使他們通過不斷的試驗來找到獲勝策略.在教師的引導下，學生可以利用數次試驗的數據來進行想象和猜想，接著嘗試用嚴密的邏輯推理來證明猜想是否正確，顯然這其中需要借助不錯的數學運算能力.

利用數學游戲進行教學，不僅可以提高學生的學習興趣，激發學生的創造靈感，感受數學的奇妙之處；更重要的是，有助于學生提高觀察和思考的能力，讓學生學會從已知的現象探索未知的部分，透過現象看本質，提升學生的邏輯思維和運算能力，培養學生的數學核心素養 .

［1］弗賴登塔爾.作為教學任務的數學［M］.陳昌平，唐瑞芬，編譯.上海：上海教育出版社，1995：7.