基于強化區間線性規劃的工程項目模糊多目標均衡優化

蔣紅妍，王鑫業，布亞軍

（西安建筑科技大學 土木工程學院，西安 710055）

基于強化區間線性規劃的工程項目模糊多目標均衡優化

蔣紅妍，王鑫業，布亞軍

（西安建筑科技大學 土木工程學院，西安 710055）

文章考慮工程項目實施過程中的不確定因素，建立工期、成本、質量模糊均衡優化（FTCQP）模型；運用分解定理、強化區間線性規劃（EILP）方法，求出各目標的最優值區間；進一步引入模糊偏好關系，運用模糊折衷規劃法，得到FTCQP模型的最優模糊折衷解。最后通過案例分析驗證了方法的合理性、有效性和可操作性。

模糊多目標優化；風險水平；強化區間線性規劃；模糊折衷規劃；模糊偏好關系

0 引言

工程項目的工期-成本-質量均衡優化問題（time-costqualitytrade-offproblem,TCQP）是國內外學者研究的熱點。工程項目實施過程中存在諸如場地條件、天氣狀況、管理水平等不確定因素[1]，使工期、成本、質量目標具有模糊性，因此研究模糊環境下的工程項目工期-成本-質量均衡優化問題（fuzzy time-cost-quality trade-off problem,FTCQP）更符合工程實際情況[2]。

已有研究在建立FTCQP模型的基礎上，部分學者運用模糊多屬性效用相關理論[3，4]，只給出了一組最優方案；部分學者設計了智能算法得到了Pareto解[5，6]，由于Pareto解分布范圍廣，使決策者選擇最優解仍是一個多目標過程，無法完成全部的決策過程[7]；還有學者運用模糊折衷規劃法，得到模型最優折衷解的變化范圍[8]，但解空間內存在不可行解。不僅如此，上述研究還存在未考慮決策風險、決策者偏好等實際因素，導致求解結果無法為決策者提供有益信息等問題。本文擬在建立FTCQP模型的基礎上，引入決策風險、模糊偏好關系，運用強化區間線性規劃(enhanced interval linear programming，EILP)方法，改善FTCQP模型的求解，從而使求解結果能更好的輔助決策者決策。

1 模糊集理論

模糊數是一個連續的模糊集合，具有以下性質：凸狀態，即隸屬函數有一個明顯的峰；正常狀態，即保證集合中至少有一個元素隸屬度為1。這兩個性質決定了模糊數特別適于描述不確定的數值。本文采用三角模糊數來表示項目中的不確定量，如工序持續時間可用N=(l,n,r)表示，其隸屬度函數見圖1，圖中l、n、r三點分別代表工序在最樂觀、最可能、最悲觀情況下持續時間的取值。

圖1 工序持續時間的隸屬度函數和α截集

由分解定理知，任意模糊數的α截集為區間數。圖1中，三角模糊數N=(l,n,r)，其α截集是實數域上的一個閉區間，可記為，其中α∈[0,1]，稱為風險（置信）水平，簡稱水平；分別為區間的左、右邊界。

2 FTCQP模型的建立

2．1 定義與假設

工序施工一般會采用正常模式，也可能采用壓縮模式。本文建立的FTCQP模型基于以下定義與假設。

（1）僅當施工持續時間小于正常模式施工持續時間的左邊界時，工序才以壓縮模式施工[9]。

（2）假定在壓縮模式下施工時，工作的直接成本與其持續時間成反比關系；用成本變化率（）表示單位壓縮時間對工序直接成本的影響程度，其計算公式見下頁式（1）。

（3）由于在實際施工中，很少考慮采用壓縮模式對施工間接成本的影響，本文忽略間接成本，用直接成本代替總成本。但本文方法同樣適用于考慮間接成本的情況；

（4）假定在壓縮模式下施工，工序持續時間與質量成正比關系；用質量變化率（）表示單位壓縮時間對工序質量的影響程度，其計算公式見式（2）。

（5）用0～1間的連續數值表示某項工序的質量，越接近1表示工序質量越好；整個工程的質量等于各項工序的質量加權。

2．2 模型建立

基于上述定義和假設，為使工期最短、成本最低、質量水平最高，建立如式（3）所示的FTCQP模型：

式（3）中，i為工序編號；k為工序i所有緊后工序中開始時間最早的工序，i，k=1,2,…,m，m為工序總個數；p為關鍵路徑上的工序集合；為工序i的實際持續時間；為工序i以正常模式施工的持續時間、施工成本、質量；ωi為工序i的質量權重；為工序i的最早開始時間;為工序i以壓縮模式施工的持續時間。

3 FTCQP模型的求解

式（3）中，目標函數和約束條件均含模糊數，其求解實質上是一個模糊線性規劃問題，應首先對其中的模糊數進行去模糊化處理。為在優化過程中反映出決策風險，本文選用截集法來處理模糊數；將模糊數處理為區間數后，便可運用區間線性規劃的相關理論和方法來求解模型。

區間線性規劃是指系數含有區間數的線性規劃方法，其所需信息量少且求解方便，因此在不確定性優化問題中得到了廣泛應用，并已證明效果良好。

本文選用區間線性規劃的EILP方法來求解模型，該方法具有計算時間短、效率高、優化過程中能直接反映不確定性、可保證所求非極端解在最終解空間絕對可行等優點[10]。但EILP方法一般用于單目標區間優化問題的求解，且因優化結果為最優值區間，無法得到最優值的確定值。因此，本文將在EILP優化結果的基礎上，進一步運用模糊折衷規劃來求解多目標問題的最優折衷解。

3．1 FTCQP模型的去模糊化處理

采用截集法對式（3）進行去模糊化處理，并按區間數運算法則整理，得到如下的區間數TCQP模型，見式（4）。

3．2 EILP模型構造及求解

EILP方法求解區間規劃的基本思路是：先利用強化區間不確定性定理，對目標函數和約束條件進行處理，將模型分解為上限、下限兩個子模型；再求解這兩個子模型得到各目標的最優解區間及最優值區間。

為不失普遍性，本文以式（5）所示的區間線性規劃模型為例，闡述EILP方法對目標函數和約束條件處理的方法，方法的理論依據及詳細證明參見文獻[11-12]。

首先應對目標函數進行處理。設式（5）的目標函數中，前t個系數為正其余(J-t)個系數為負為降低EILP模型目標函數的不確定度，引入適宜區間(AI±)替換原來的目標函數,(AI±)定義為：

用適宜區間替換式（5）中的目標函數后，原目標函數轉換為MaxAI+和MaxAI-兩個子目標函數，分別如式（7）、式（8）所示。

為保證得到最優決策，還應對式（5）的約束條件進行處理。根據EILP方法，求解MaxAI+子目標函數時，約束條件的處理結果為式（9）：

聯立式（7）和式（9），可得到式（5）的上限子模型。求解該模型可得到最優解以及最優目標函數

求解MinAI-子目標函數時，約束條件的處理結果為式（10）：

上述約束條件中的第2個約束是為保證EILP的最優解絕對可行，在求解MinAI-時增加的額外約束條件，其中ε為式（9）約束條件中滿足：1,…,J)的約束條件的個數。

聯立式（8）和式（10）得到式（5）的下限子模型，求解該模型得到以及最優目標函數下限，由此得到式（5）最優解區間和最優函數值區間。

最小化優化問題中目標函數和約束條件處理方法類似，不再贅述。

對于式（4）中的問題，先按照上述EILP方法處理該式的目標函數和約束條件，然后按照成本型目標先求目標函數下限、效益型目標先求目標函數上限的原則，建立式（4）的EILP上限子模型，如式（11）所示：

將各目標函數當作式（11）約束條件下的單目標問題求解，分別得到及及及其中，為水平α下，目標s在約束條件下最優解的左、右邊界。

利用上述求解結果，按照成本型目標求目標函數上限，效益型目標求目標函數下限的原則，建立式（4）的EILP下限子模型，如式（12）所示：

將各目標當作式（12）約束條件下的單目標問題進行求解，分別得到及及及

3．3 FTCQP模型的最優折衷解

由于模型中工期、成本、質量各目標間相互矛盾、彼此制約，幾乎不存在使每個目標均達到最優的解，因此需要設法求得其最優折衷解，使所有目標的綜合隸屬度整體評價值最大。本文采用模糊折衷規劃法來尋求多目標問題的最優折衷解，其求解步驟如下。

首先，根據求出的各目標最優值上下邊界，利用式（13）、式（14）定義各目標的相對優屬度，以量化水平α下，第s個目標的函數值相對該目標最優值的優越程度。

然后，采用最大隸屬度偏差法，利用式（15）對多目標進行整體評價[13]。

式（15）中，(Dq)α為水平α下，方案到負理想解的加權Minkowski距離；q為正實數；λs為目標s的權重；φ-為負理想解的目標優屬度。對于式（4）中的問題，φ-={0,0,0}。

欲得到折衷解，應使折衷解離負理想解越遠越好，即求式（16）。由此，式（3）中的模糊多目標規劃問題轉化成式（16）的模糊折衷規劃問題。

式（16）中各目標的權重值直接影響到優化結果。考慮到決策者對各目標的偏好程度不同，本文采用文獻[14]的方法，引入模糊偏好關系來計算各目標函數的權重，使優化結果能更好地反映決策者偏好信息。表1列出了主要的模糊偏好關系。

表1 模糊偏好關系及其含義

通過上述步驟，求得FTCQP模型在水平α下的最優折衷解；當α取遍可行域內所有值時，可求得FTCQP模型的全部最優折衷解。本文FTCQP模型建立和求解的步驟如圖2所示。

圖2 FTCQP模型的建立及求解流程

4 案例分析

結合圖3所示的某項目單代號網絡圖，說明并驗證本文提出的方法。該網絡圖包含7項工序，首尾各有一個虛工序，各工序的基本參數如表2所示。

表2 項目各工序的基本參數

圖3 某項目單代號網絡圖

該項目決策者對各目標的模糊偏好關系為Z2＜＜Z1，Z2＜Z3，Z3＜Z1，利用文獻[14]中的方法，求得該項目工期、成本、質量的權重分別為0.43、0.24、0.33。取式（16）中q=1，運用基于MATLAB2012a平臺的計算機程序得到該項目在不同水平α下，各目標的最優值區間和最優折衷解，如表3、表4所示。

表3 不同風險水平下各目標的最優值區間

表4 不同風險水平下最優折衷解及相關信息

鑒于篇幅原因，表3中只列出了部分風險水平下各目標最優值的變化范圍。當α水平較低時，決策風險較高，各目標最優值的變化范圍較大；隨著α水平增加，決策風險降低，各目標最優值的變化范圍也隨之變小。從整體來看，利用本文算法求得的工期、成本最優值區間變動范圍較廣，質量水平均較高，能從不同角度和風險水平下反映出工程項目各目標的最好、最劣情況。

表4列出了多目標優化問題的部分最優折衷解及其相關信息。決策者可通過比較整體評價值的大小，判斷出各風險水平下最優折衷解的優劣；但由于整體評價值大的方案往往風險也較高，所以決策時還應結合表3中的計算結果，考慮不同方案的風險和不確定度，通過權衡整體評價值大小和決策風險擇優選擇。

由此可見，采用本文提出的方法，不僅能得到多目標優化問題的最優方案，還能為決策者提供風險大小、目標可能的變動范圍等更多有益信息，方便決策者科學決策；另外，本文采用枚舉所有風險水平的做法，可以考慮優化過程中關鍵路徑的變化情況。相比其他多目標優化方法，本文的計算方法更簡捷，求解結果更加符合工程項目的實際需求。

5 結論

本文針對工程項目管理目標的不確定性，建立了以工序實際持續時間為決策變量的FTCQP模型，并創造性地運用EILP方法和模糊折衷規劃法對模型進行求解，得到了不同風險水平下各目標最優值的變化范圍和多目標問題的最優折衷解。算法中所運用的EILP方法，能顯著降低目標函數的不確定度，可為后續決策提供非極端區間范圍；風險水平的考慮，使決策者在決策之初就能根據自身風險的接受程度，把握一定風險水平下各目標的變動范圍及多目標的整體情況；優化過程中枚舉所有風險水平的做法，可展示關鍵路徑隨風險水平的變化，彌補了已有研究中對此未有考慮的不足；基于模糊偏好關系的權重確定，能在優化過程中充分體現決策者的偏好信息，可有效輔助實際決策。總體看來，本文提出的方法不僅考慮了決策者對風險的接受程度和其對各目標的偏好程度，還在求解方式上更加靈活、切合實際，可以得到保證解空間絕對可行的最優解變化范圍，為決策者提供了有力依據。

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Fuzzy Multi-objective Trade-off of Construction Project Based on Enhanced Interval Linear Programming Method

Jiang Hongyan,WangXinye,Bu Yajun

(1.School of Civil Engineering,Xi'an University of Architecture&Technology,Xi'an 710055,china)

In view of the uncertainty during construction process,this paper constructs a fuzzy trade-off model about time,cost and quality(FTCQP).Firstly,the paper works out the optimal value interval by use of the decomposition theorem and enhanced interval linear programming(EILP)method.And then the paper introduces fuzzy preference relation and employs fuzzy compromise programming to obtain the optimal compromise solution of FTCQP model.Finally a case analysis is done to verify the rationality,effectiveness and operability of the proposed method.

fuzzy multi-objective optimization;risk level;enhanced interval linear programming;fuzzy compromise programming;fuzzy preference relation

F224

A

1002-6487（2017）20-0172-05

國家自然科學基金資助項目（51408459）

蔣紅妍（1974—），女，陜西富平人，副教授，研究方向：土木工程建造與管理。

王鑫業（1993—），女，四川成都人，碩士研究生，研究方向：工程經濟與項目管理。

布亞軍（1992—），女，山東陽谷人，碩士研究生，研究方向：工程經濟與項目管理。

(責任編輯/易永生)