利用零點定理證明方程在區間內實根存在性問題分析研究

余小飛

【摘 要】在深入分析零點定理的基礎上，研究零點定理應用的特殊情況，并給出了定理在方程根的存在性證明中的應用實例。

【關鍵詞】零點定理；根的存在性；輔助函數

1.引言

零點定理是微積分學的一個重要定理，它的一個重要應用是研究函數零點的存在性問題，同時也可以用來研究方程在區間內實根的存在性問題。本文將利用零點定理給出解決實際問題的幾個應用實例。

2.定理

設函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，且f（a）與f（b）異號（即f（a）f（b）<0），那么在開區間（a，b）內至少有一點ξ（a<ξ

證明：不妨設f（a）<0，f（b）>0。令

E={x|f（x）<0，x∈[a，b]}

由f（a）<0知E≠ ，且b為E的一個上界，于是根據確界存在原理，存在ξ=supE[a，b]，下面證明f（ξ）=0。

零點定理的條件有三部分組成：一是閉區間[a，b]，二是連續函數f（x），三是兩個端點的函數值異號。證明的根的存在性的命題常常只給出上述三個條件的部分條件，另一些條件需要證明。

3.幾個應用實例

（1）給出閉區間[a，b]上的連續函數f（x），證明f（x）=0在（a，b）內至少有一個實根。

（3）構造輔助函數，對輔助函數使用零點定理

先從待證的結果出發，將待證的結果轉化為右端為零的等式，構造輔助函數F（x），然后驗證F（x）在[a，b]上滿足零點定理的條件。

例3：設f（x）在閉區間[0，2a]上連續，且f（0）=f（2a），則在[0，a]上至少存在一點x，使f（x）=f（x+a）。

證明：將f（x）=f（x+a）化為f（x）-f（x+a）=0，將x改為x，得到f（x）-f（x+a）=0。則F（x）在[0，b]在上連續，

且F（0）=f（0）-f（a）

F（a）=f（a）-f（2a）=f（a）-f（0）=-[f（0）-f（a）]

（1）若f（0）=f（a），則F（0）=F（a）=0，于是存在x∈（0，a），

使f（x）=f（x+a）成立。

4.結束語

零點定理和介值定理是閉區間上連續函數的兩個重要性質，常用于證明方程式根的存在性，通過上面的例子，我們不難發現，利用零點定理研究根的存在性問題有很多種方法。只要我們能夠掌握并靈活運用自己的知識，就能從更多的角度求解問題。

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