變截面懸臂梁最大撓度簡化計算

康蘭蘭

（河南建筑職業(yè)技術學院，河南 鄭州 450064）

變截面懸臂梁最大撓度簡化計算

康蘭蘭

（河南建筑職業(yè)技術學院，河南 鄭州 450064）

考慮梁的彎曲變形和剪切變形，利用單位荷載法得到了等寬、截面高度線性變化的矩形截面懸臂梁在均布和集中荷載作用下的最大撓度計算公式，定義該撓度與按根部高度的等截面梁最大撓度之比為撓度增大系數(shù)，構件兩端的截面模量之比是影響撓度增大的最主要因素，荷載分布形式也有一定影響，通過參數(shù)分析，得到其簡化表達式，計算結果表明，所建議的公式具有很高的精度且計算簡便。

懸臂梁； 最大撓度； 變截面

0 引言

對承受橫向荷載作用的構件而言，彎矩和剪力是其主要內(nèi)力，采用變截面則易于充分發(fā)揮材料強度，節(jié)約了材料，因此，在土木工程中變截面構件較為常見，如挑梁、門式剛架的梁和柱、錐形擴展基礎等。相對等截面梁而言，變截面梁的撓度較大，過大的變形影響結構的正常使用。一般的力學教材或結構設計手冊都有等截面構件在常用荷載下的撓度計算公式，而變截面梁由于截面特性是位置的變量，當采用積分法計算其撓度時，其顯式表達一般較復雜甚至無法求解。因此，變截面構件的撓度，常采用近似方法計算。其中，共軛梁法[1]需計算虛梁內(nèi)力圖的合力及位置，相應地，計算也較為復雜；等效剛度法[2]將構件分若干段后，利用最大撓度相等得到其等效剛度，再利用等截面梁的撓度計算公式得到具體撓度，該法的計算工作量較大。而在工程實踐中，構件的截面變化往往具有某些規(guī)律，如寬度相同僅高度線性變化的矩形截面。因此，有必要研究一種易于求解此類截面構件最大撓度而又具有較高精度的實用方法。

本文利用經(jīng)典結構力學中的單位荷載法，考慮構件的彎曲和剪切變形，通過合理的積分計算，得到高度線性變化的懸臂構件在均布和集中荷載作用下最大撓度計算公式，進一步通過參數(shù)研究，得到簡化的實用計算公式，為此類構件的撓度計算提供了簡單實用的計算方法。

1 構件參數(shù)和最大撓度計算原理

1.1 構件參數(shù)

以矩形截面的懸臂梁為例，截面寬度為b，梁懸挑長度為L，端部和根部高度分別為h1和h，如圖1所示。

圖1 構件參數(shù)

構件端部和根部的截面面積和截面模量分別如下：

端部截面，

根部截面，

由于截面高度線性變化，則構件的高度變化率為

1.2 最大撓度計算原理

對圖1所示的懸臂構件，最大撓度發(fā)生在自由端，可利用單位荷載法求出。即在端部施加與荷載引起撓度方向一致的單位力，分別計算荷載和單位力引起的在截面位置x處的彎矩和剪力，考慮了彎曲和剪切變形的最大撓度即為

式中

1.2 ——考慮了截面上剪應力的不均勻系數(shù)。

顯然，式（3）中的第1項即為彎曲變形產(chǎn)生的撓度，第2項則為剪切變形產(chǎn)生的撓度。

2 最大撓度的理論解

2.1 集中荷載作用

當端部作用集中力F時，截面位置坐標原點定義在截面積面積為0處，該點離端部的距離a即為

相應地，截面位置x處的截面特性和內(nèi)力如下：

將式（5）～（7）代入式（3），同時，積分區(qū)間變?yōu)閇a ， a+L]，通過積分得最大撓度為

2.2 均布荷載作用

當梁上作用均布荷載p時，采用與集中荷載相同的處理方法，僅荷載引起的截面彎矩和剪力不同，其余參數(shù)不變。利用平衡條件可得截面位置x處的內(nèi)力如式（9）所示。

同樣利用式（3），即得最大撓度為

3 最大撓度的簡化解

若截面高度等于根部截面高度的等截面懸臂梁在荷載作用下的最大撓度記為，而變截面梁最大撓度可表達為此撓度與撓度增大系數(shù)ξ的乘積，即

端部集中力作用時，

梁上均布力作用時，

將式（8）、（10）和（12）分別代入式（11），即得兩種典型荷載作用時的撓度增大系數(shù)。不難看出，所得的撓度增大系數(shù)甚為復雜而難于應用，可通過數(shù)值分析方法得到其簡化表達式。

由撓度增大系數(shù)與F、E、G和b的無關，而與ln（I/I1）相關。為了建立其關系式，構件參數(shù)分別取：h1=50、100、200、400、500（mm）；L=500、1000、1500、2000、2500、3000（mm）；η=0.01、0.05、0.10、0.15、0.2、0.25、0.30、0.35、0.40、0.50，通過分析可得具體關系式如下：

集中荷載作用，

均布荷載作用，

圖2 簡化解與理論解的比較

圖2給出了理論值與簡化計算結果的比較。仔細研究后不難看出，簡化解具有較高的精度，能滿足工程要求。

利用式（1），式（13）可相應地轉換為式（14），即

若變截面梁為工程上的混凝土梁，則有G=0.4E，式（12）可進一步簡化。同樣，對跨高比（L/h）不大的淺梁和短梁，剪力引起的梁撓度不能忽略。

盡管上述導出的撓度增大系數(shù)是基于矩形截面梁的分析，只要梁的截面高度是線性變化，式（13）的結果同樣也具有很高的精度。

4 算例

某懸挑長度為L=2100mm的變截面挑梁，梁上作用均布線荷載為p=20kN/m。已知：梁端部截面尺寸為200mm×200mm，根部截面尺寸為200mm×450mm，材料的彈性模量E和剪切變形模量G分別為30GPa和12GPa，試確定其最大撓度。

由于該變截面梁屬于均布荷載情況，由式（10）理論公式計算得最大撓度為1.7077mm，而按式（11）得最大撓度為1.527×1.116=1.7041mm。二者誤差為0.2%。

由此可以看出，本文簡化方法可以利用一般等截面的計算結果，不僅計算簡單，而且具有較好的計算精度，能滿足工程設計要求。

[1]龍馭球，包世華，支秉琛.結構力學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，1994.

[2]朱皓明，高軒能，沈劍波.變截面懸臂構件撓度計算的等效柱法[J].井岡山大學學報（自然科學版），2010，3l（4）：71-75.

2017-08-23