變截面懸臂梁最大撓度簡化計(jì)算

康蘭蘭

（河南建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 鄭州 450064）

變截面懸臂梁最大撓度簡化計(jì)算

康蘭蘭

（河南建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 鄭州 450064）

考慮梁的彎曲變形和剪切變形，利用單位荷載法得到了等寬、截面高度線性變化的矩形截面懸臂梁在均布和集中荷載作用下的最大撓度計(jì)算公式，定義該撓度與按根部高度的等截面梁最大撓度之比為撓度增大系數(shù)，構(gòu)件兩端的截面模量之比是影響撓度增大的最主要因素，荷載分布形式也有一定影響，通過參數(shù)分析，得到其簡化表達(dá)式，計(jì)算結(jié)果表明，所建議的公式具有很高的精度且計(jì)算簡便。

懸臂梁； 最大撓度； 變截面

0 引言

對(duì)承受橫向荷載作用的構(gòu)件而言，彎矩和剪力是其主要內(nèi)力，采用變截面則易于充分發(fā)揮材料強(qiáng)度，節(jié)約了材料，因此，在土木工程中變截面構(gòu)件較為常見，如挑梁、門式剛架的梁和柱、錐形擴(kuò)展基礎(chǔ)等。相對(duì)等截面梁而言，變截面梁的撓度較大，過大的變形影響結(jié)構(gòu)的正常使用。一般的力學(xué)教材或結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)手冊(cè)都有等截面構(gòu)件在常用荷載下的撓度計(jì)算公式，而變截面梁由于截面特性是位置的變量，當(dāng)采用積分法計(jì)算其撓度時(shí)，其顯式表達(dá)一般較復(fù)雜甚至無法求解。因此，變截面構(gòu)件的撓度，常采用近似方法計(jì)算。其中，共軛梁法[1]需計(jì)算虛梁內(nèi)力圖的合力及位置，相應(yīng)地，計(jì)算也較為復(fù)雜；等效剛度法[2]將構(gòu)件分若干段后，利用最大撓度相等得到其等效剛度，再利用等截面梁的撓度計(jì)算公式得到具體撓度，該法的計(jì)算工作量較大。而在工程實(shí)踐中，構(gòu)件的截面變化往往具有某些規(guī)律，如寬度相同僅高度線性變化的矩形截面。因此，有必要研究一種易于求解此類截面構(gòu)件最大撓度而又具有較高精度的實(shí)用方法。

本文利用經(jīng)典結(jié)構(gòu)力學(xué)中的單位荷載法，考慮構(gòu)件的彎曲和剪切變形，通過合理的積分計(jì)算，得到高度線性變化的懸臂構(gòu)件在均布和集中荷載作用下最大撓度計(jì)算公式，進(jìn)一步通過參數(shù)研究，得到簡化的實(shí)用計(jì)算公式，為此類構(gòu)件的撓度計(jì)算提供了簡單實(shí)用的計(jì)算方法。

1 構(gòu)件參數(shù)和最大撓度計(jì)算原理

1.1 構(gòu)件參數(shù)

以矩形截面的懸臂梁為例，截面寬度為b，梁懸挑長度為L，端部和根部高度分別為h1和h，如圖1所示。

圖1 構(gòu)件參數(shù)

構(gòu)件端部和根部的截面面積和截面模量分別如下：

端部截面，

根部截面，

由于截面高度線性變化，則構(gòu)件的高度變化率為

1.2 最大撓度計(jì)算原理

對(duì)圖1所示的懸臂構(gòu)件，最大撓度發(fā)生在自由端，可利用單位荷載法求出。即在端部施加與荷載引起撓度方向一致的單位力，分別計(jì)算荷載和單位力引起的在截面位置x處的彎矩和剪力，考慮了彎曲和剪切變形的最大撓度即為

式中

1.2 ——考慮了截面上剪應(yīng)力的不均勻系數(shù)。

顯然，式（3）中的第1項(xiàng)即為彎曲變形產(chǎn)生的撓度，第2項(xiàng)則為剪切變形產(chǎn)生的撓度。

2 最大撓度的理論解

2.1 集中荷載作用

當(dāng)端部作用集中力F時(shí)，截面位置坐標(biāo)原點(diǎn)定義在截面積面積為0處，該點(diǎn)離端部的距離a即為

相應(yīng)地，截面位置x處的截面特性和內(nèi)力如下：

將式（5）～（7）代入式（3），同時(shí)，積分區(qū)間變?yōu)閇a ， a+L]，通過積分得最大撓度為

2.2 均布荷載作用

當(dāng)梁上作用均布荷載p時(shí)，采用與集中荷載相同的處理方法，僅荷載引起的截面彎矩和剪力不同，其余參數(shù)不變。利用平衡條件可得截面位置x處的內(nèi)力如式（9）所示。

同樣利用式（3），即得最大撓度為

3 最大撓度的簡化解

若截面高度等于根部截面高度的等截面懸臂梁在荷載作用下的最大撓度記為，而變截面梁最大撓度可表達(dá)為此撓度與撓度增大系數(shù)ξ的乘積，即

端部集中力作用時(shí)，

梁上均布力作用時(shí)，

將式（8）、（10）和（12）分別代入式（11），即得兩種典型荷載作用時(shí)的撓度增大系數(shù)。不難看出，所得的撓度增大系數(shù)甚為復(fù)雜而難于應(yīng)用，可通過數(shù)值分析方法得到其簡化表達(dá)式。

由撓度增大系數(shù)與F、E、G和b的無關(guān)，而與ln（I/I1）相關(guān)。為了建立其關(guān)系式，構(gòu)件參數(shù)分別取：h1=50、100、200、400、500（mm）；L=500、1000、1500、2000、2500、3000（mm）；η=0.01、0.05、0.10、0.15、0.2、0.25、0.30、0.35、0.40、0.50，通過分析可得具體關(guān)系式如下：

集中荷載作用，

均布荷載作用，

圖2 簡化解與理論解的比較

圖2給出了理論值與簡化計(jì)算結(jié)果的比較。仔細(xì)研究后不難看出，簡化解具有較高的精度，能滿足工程要求。

利用式（1），式（13）可相應(yīng)地轉(zhuǎn)換為式（14），即

若變截面梁為工程上的混凝土梁，則有G=0.4E，式（12）可進(jìn)一步簡化。同樣，對(duì)跨高比（L/h）不大的淺梁和短梁，剪力引起的梁撓度不能忽略。

盡管上述導(dǎo)出的撓度增大系數(shù)是基于矩形截面梁的分析，只要梁的截面高度是線性變化，式（13）的結(jié)果同樣也具有很高的精度。

4 算例

某懸挑長度為L=2100mm的變截面挑梁，梁上作用均布線荷載為p=20kN/m。已知：梁端部截面尺寸為200mm×200mm，根部截面尺寸為200mm×450mm，材料的彈性模量E和剪切變形模量G分別為30GPa和12GPa，試確定其最大撓度。

由于該變截面梁屬于均布荷載情況，由式（10）理論公式計(jì)算得最大撓度為1.7077mm，而按式（11）得最大撓度為1.527×1.116=1.7041mm。二者誤差為0.2%。

由此可以看出，本文簡化方法可以利用一般等截面的計(jì)算結(jié)果，不僅計(jì)算簡單，而且具有較好的計(jì)算精度，能滿足工程設(shè)計(jì)要求。

[1]龍馭球，包世華，支秉琛.結(jié)構(gòu)力學(xué)（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，1994.

[2]朱皓明，高軒能，沈劍波.變截面懸臂構(gòu)件撓度計(jì)算的等效柱法[J].井岡山大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2010，3l（4）：71-75.

2017-08-23