創(chuàng)設有效情境培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力

吳青

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在課程設計思路中明確指出：“義務教育階段數(shù)學課程的設計，充分考慮本階段學生數(shù)學學習的特點……使學生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題、構建數(shù)學模型、尋求結果、解決問題的過程?！蓖瑫r，將“模型思想”作為八個核心概念之一。由此可以看出，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力，必須依托具體的生活情境，讓學生充分感受生活情境，學會從復雜的生活情境中挑選有效信息，從而將生活問題抽象成數(shù)學問題，并綜合運用所學數(shù)學知識進行解決。因此，在進行數(shù)學建模教學的過程中，生活情境的選擇非常重要。我們要優(yōu)選生活情境，使其具有一定的現(xiàn)實意義，并且要和兒童的實際生活密切聯(lián)系，這樣學生才容易理解其中隱含的問題，才能引起他們的探究欲望，從而將生活問題抽象成數(shù)學問題，并得到解決，實現(xiàn)數(shù)學建模。

一、創(chuàng)設有效的生活情境，將生活問題數(shù)學化

一切知識皆來源于生活，數(shù)學模型的構建更是依賴于一定的生活情境，只有在對生活情境有充分的了解，舍棄那些與問題無關的非本質(zhì)因素，保留問題的本質(zhì)因素之后，學生才能順利地建立起有效的數(shù)學模型，從而將生活問題數(shù)學化。

說到數(shù)學建模，數(shù)學史上一個最著名的例子，就是格尼斯堡的七橋問題。當格尼斯堡的人們每天沿著市中心的7座橋散步時，不知不覺中便提出了一個問題：一個散步者能否一次走遍7座橋，而且每座橋只許通過一次，最后仍回到起始地點。這就是一個生活問題，然而在很長的一段時間內(nèi)，人們都被河、橋、陸地這些因素所干擾，始終無法解決這個問題。而歐拉將陸地抽象成點，將橋抽象成線，舍棄了那些無關因素，從而將七橋問題轉化成數(shù)學上的一筆畫問題，進而順利解決了這個困擾大家多年的問題。

從歐拉解決七橋問題的過程中，可以看出數(shù)學建模的魅力就在于能夠將生活問題數(shù)學化，并運用數(shù)學知識來解決生活問題。因此在實際教學中，我們要善于從兒童的日常生活中選取可用的素材，創(chuàng)設豐富而有效的生活情境，讓學生在情境中感悟、體驗、思考、探究，進而將生活問題抽象成數(shù)學問題，從而得到解決。

比如在教學和的奇偶性時，老師創(chuàng)設了一個拋骰子玩轉盤的生活情境。拋骰子和玩轉盤在學生的生活中很常見，由此拉近了學生與課堂探究內(nèi)容之間的心理距離，也密切了數(shù)學與生活之間的聯(lián)系。在這個游戲中規(guī)定，拋出骰子后，將拋到的數(shù)再加一遍，得到一個結果，然后在轉盤上找到相應的數(shù)據(jù)，領取對應的獎品。學生玩了幾次都是空手而返，這是為什么呢？在生動有趣的生活情境的渲染下，學生陷入了沉思中。很快有同學發(fā)現(xiàn)，轉盤上奇數(shù)對應的都是獎品，而與偶數(shù)對應的則都是“謝謝參與”。還有學生意識到，將拋到的數(shù)再加一遍，不管原來拋到的是幾，再加一遍之后都是偶數(shù)，因此都拿不到獎品。看來，拿不到獎品不是運氣不好，而是規(guī)則定得不好。

于是，老師讓學生修改規(guī)則，使得這個游戲更加公平。有學生提出，拋兩次骰子，然后將兩次拋到的數(shù)相加。那么，如何確定和的奇偶性呢？兩個數(shù)相加，有哪幾種不同的情形呢？接下來，學生分別研究偶數(shù)加偶數(shù)、奇數(shù)加奇數(shù)、偶數(shù)加奇數(shù)這三種不同情形下和的奇偶性，并最終得出規(guī)律。

在這個課例中，學生通過玩轉盤這個具體的生活情境，將骰子和轉盤這些無關因素舍棄，保留下來的則是兩個數(shù)相加確定和的奇偶性，從而將生活問題抽象成數(shù)學問題，并建立起相應的數(shù)學模型。他們經(jīng)歷了生活問題數(shù)學化的過程，這是整個數(shù)學建模過程中最為關鍵的環(huán)節(jié)。

在六年級的一節(jié)數(shù)學活動課上，老師向學生介紹了古印度梵塔的傳說。在古老傳說的情境渲染下，再讓學生玩漢諾塔，比一比誰的速度最快。當學生從2層漢諾塔開始，逐漸過渡到3層、4層、5層漢諾塔，難度逐漸加大，移動的次數(shù)也變得越來越多。于是有學生開始思考，在每一種情形下，最少需要移動的次數(shù)之間有怎樣的規(guī)律。通過分析發(fā)現(xiàn)，n層漢諾塔最少需要移動2n-1次。在這個教學片段中，教師創(chuàng)設了梵塔傳說與漢諾塔移動比賽的生活情境，學生在操作過程中，自主地將生活問題抽象成數(shù)學問題并建立起數(shù)學模型，思考最少移動次數(shù)存在的規(guī)律，進而解決了這個問題。

但是在這節(jié)課上，數(shù)學建模的過程并沒有止于此，而是向著數(shù)學思維的縱深處發(fā)展。教師隨后又創(chuàng)設了一個生活情境，向學生介紹了古印度的另一個傳說，關于國際象棋發(fā)明者接受國王賞賜的故事：在棋盤的第1個小格里賞一粒麥子，在第2個小格里賞2粒，第3個小格賞4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍，把棋盤上的64格都擺上麥粒。64格一共能擺放多少麥粒呢？學生紛紛拿起筆計算起來，真是不算不知道，一共竟然有264-1粒，這是一個20位數(shù)，真是一個超出我們感知能力的天文數(shù)字。

將剛才的兩個例子進行對比，學生發(fā)現(xiàn)，兩種不同的生活情境，兩種不同的生活問題，最終都歸結為2n-1這個統(tǒng)一的數(shù)學模型。同一個數(shù)學模型會應用到不同的生活問題中，會有不同的具體解釋，所以數(shù)學模型具有高度的抽象性和概括性。

對小學數(shù)學而言，數(shù)學建模的過程，實際上就是生活問題數(shù)學化的過程，是學生在數(shù)學學習中獲得某種帶有模型意義的數(shù)學結構的過程。在這節(jié)課上，教師創(chuàng)設了兩個不同的生活情境，讓學生經(jīng)歷生活問題數(shù)學化的過程，當學生排除無關信息的干擾，把生活問題與一定的數(shù)學知識建立聯(lián)系，把生活問題抽象為數(shù)學問題后，他們的數(shù)學思維能力也就得到了一次提升。而當學生認識到不同的生活問題竟然歸結到同一個數(shù)學模型之中，他們對數(shù)學模型會有一個更深刻的認識，也為以后應用數(shù)學知識解決實際問題提供了豐富的數(shù)學經(jīng)驗。

二、創(chuàng)設優(yōu)化的現(xiàn)實情境，將形象問題抽象化

我們在進行數(shù)學建模時，須要將生活問題進行一定的抽象，經(jīng)過適當概括，提煉出抽象的數(shù)學模型。因此在課堂上，我們須要創(chuàng)設優(yōu)化的現(xiàn)實情境，將生活問題形象地呈現(xiàn)出來，促使學生在直觀的情境中分析、反思，并進一步進行抽象概括。endprint

數(shù)學模型的抽象化，主要是在數(shù)學概念方面運用得比較多，比如數(shù)的概念、幾何概念等。由于這些概念本身就是對大量生活原型進行抽象概括之后得到的，所以在課堂教學中，我們要注重讓學生在充分感知的基礎上進行抽象概括。

比如在教學百分數(shù)的意義一課時，結合學校正在開展的籃球比賽，創(chuàng)設了評選最佳投籃運動員的現(xiàn)實情境，學生都來做小考官，對三位運動員的投籃情況進行評比。首先讓學生分析圖1給出的三位同學投中的次數(shù)，當有同學根據(jù)小吳投中次數(shù)最多，而選擇小吳為最佳投籃運動員時，有同學提出反對意見，認為還應該考慮一共投籃的次數(shù)。這時出示圖2，又有同學根據(jù)小張沒有投中的個數(shù)最少，而選擇小張。此時再出示圖3，小王未投中的個數(shù)最少，是否小王投籃本領最好？在此基礎上，學生進一步思考發(fā)現(xiàn)，可以計算出每位同學投中次數(shù)各占投籃總次數(shù)的幾分之幾，然后再進行比較。于是，百分數(shù)概念的得出就水到渠成了。

在這個教學片斷中，教師選取了學生喜歡的、和他們生活密切相關的籃球比賽這一現(xiàn)實情境，學生在優(yōu)化的情境中，感受生活問題并將其逐步抽象，從而得出百分數(shù)這一數(shù)學模型。

接下來和學生一起分析64%的含義，此時學生所能理解的還只是這個百分數(shù)的具體含義，還只是在投籃命中率這種生活情境之下的百分數(shù)。為了讓學生更加充分地感受各種不同的百分數(shù)的情境，充分認識百分數(shù)的具體含義，并能抽象概括出百分數(shù)的一般意義，教師再一次創(chuàng)設了優(yōu)化的現(xiàn)實情境，在班級開展“新聞發(fā)布會”，讓學生都成為小小新聞發(fā)布員，向大家介紹自己收集的生活中的百分數(shù)，分析它們所表示的具體含義。通過對這些百分數(shù)具體含義的分析，學生對百分數(shù)這個數(shù)學概念有了更為深刻的認識，在此基礎上進一步抽象，從而抽象概括出百分數(shù)的模型。

通過課堂上教師精心創(chuàng)設的兩個優(yōu)選的現(xiàn)實情境，學生在充分感受百分數(shù)具體實例的基礎上，對生活中的百分數(shù)進行了深入思考，經(jīng)過兩次抽象概括，得出了百分數(shù)的數(shù)學模型。這不僅培養(yǎng)了他們的數(shù)學建模能力，也進一步發(fā)展了數(shù)學分析、概括和抽象能力。

三、創(chuàng)設模擬的操作情境，將具體問題一般化

數(shù)學知識源于生活，是對生活現(xiàn)象的抽象、概括與提升。許多生活現(xiàn)象之間都存在著數(shù)學上的某種聯(lián)系，表現(xiàn)出相類似的規(guī)律性，可以將它們概括在一個更為普遍的數(shù)學模型之中。因此在數(shù)學課堂上，我們可以將現(xiàn)實生活中發(fā)生的與數(shù)學學習有關的素材引入課堂，讓學生在教師精心創(chuàng)設的模擬情境中進行操作探究，將生活問題抽象成數(shù)學問題，并將具體問題一般化，從而得到一個更為普遍適用的數(shù)學模型，使學生體會到數(shù)學模型的高度概括性，認識到數(shù)學規(guī)律的普遍存在，從而對數(shù)學模型有更深的認識。

比如在教學格點與面積時，教師創(chuàng)設了一個師生比賽的生活情境，給出幾個格點多邊形，看誰能最先得到它的面積。幾輪比賽都是老師獲勝，學生在驚嘆之余，非常想要找到計算格點多邊形面積的秘密，于是開始研究內(nèi)部格點數(shù)為1的這些格點多邊形（這是老師給定的圖形），從而發(fā)現(xiàn)它們的面積恰好等于邊上格點數(shù)的一半，這是數(shù)學建模的開始。

可是，當學生畫出內(nèi)部格點數(shù)不是1的格點多邊形時，卻發(fā)現(xiàn)剛才的規(guī)律并不成立，看來剛才建立的數(shù)學模型只有在內(nèi)部格點數(shù)為1時才成立，并不具有一般性，還是屬于比較具體的情形，因此須要將它進行一般化，從而得到更為普遍適用的規(guī)律。于是，接下來再研究內(nèi)部格點數(shù)為其他情形時的格點多邊形，分別得出相應的規(guī)律，并最終將它們整合在一個統(tǒng)一的數(shù)學模型之中，將數(shù)學模型的構建推向最高點。

從上面的例子可以看出，通過教師精心創(chuàng)設的優(yōu)化的生活情境，讓學生從一個具體的生活問題出發(fā)，將其抽象成數(shù)學問題，研究它的解法，并上升到一種數(shù)學模型，最后再將其一般化，進行廣泛的運用和推廣，從而得到更為普遍的規(guī)律，建立起更具一般意義的數(shù)學模型。

在數(shù)學課堂上，我們要盡可能地創(chuàng)設有效的生活情境，幫助學生從生活問題中抽象出數(shù)學問題，建立數(shù)學模型，經(jīng)歷數(shù)學探究的過程，培養(yǎng)他們運用數(shù)學知識解決生活實際問題的能力，促使小學生的思維水平從直觀形象思維向邏輯抽象思維過渡。

[責任編輯：陳國慶]endprint