小學(xué)生“做數(shù)學(xué)”能力提升的深度思考與實踐建構(gòu)

李其進

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過學(xué)生動手操作，借助一定的教學(xué)儀器或技術(shù)手段，引導(dǎo)學(xué)生通過“做數(shù)學(xué)”來學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)概念、原理、公式等，是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的基本取向。學(xué)生通過“做數(shù)學(xué)”，從中感受到數(shù)學(xué)知識的鮮活，同時，學(xué)生在學(xué)習(xí)中親身參與實踐，在操作中主動去探究和發(fā)現(xiàn)，能深刻感受到數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的過程，體驗數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)過程，學(xué)生的主體地位得以凸顯。

但是，“做數(shù)學(xué)”不能簡單理解為只要學(xué)生動手了，就達(dá)到“做教學(xué)”的目的了；動手做了，就能促進學(xué)生思維的發(fā)展了；動手做過了，就能得到正確的結(jié)論。而應(yīng)該在學(xué)生能力的提升上深度思考：“做數(shù)學(xué)”是否促進了學(xué)生數(shù)學(xué)化地觀察，學(xué)生是否在做的過程中有思考、出思想、見模型、得經(jīng)驗。

一、“做”中要有思考，促進學(xué)生在實踐中“做思共生”

從思維與動作的關(guān)系來看，思維源于動作，而動作啟動思維，他們之間是相輔相成的，如果動作與思維的聯(lián)系切斷了，思維就得不到發(fā)展。“做數(shù)學(xué)”既要學(xué)生動手實踐，又要學(xué)生動腦思考，才能促進學(xué)生在實踐中“做思共生”。

首先，以“做”促“思”?！白觥笔恰八肌钡耐怙@，在教學(xué)中應(yīng)該給予學(xué)生“先做”的自由，促進學(xué)生思考。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生往往有一定的操作經(jīng)驗，而且學(xué)生要形成新的想法也必須依據(jù)現(xiàn)有的生活或者知識經(jīng)驗，這時不妨讓其動手嘗試一下，讓學(xué)生“先做”，讓他們先擁有一定的解決相應(yīng)問題的體驗和感悟，然后根據(jù)自己的理解，再進行自我建構(gòu)、自我反思。這個時候，“做”就成為“思”的外顯表現(xiàn)，所以，讓學(xué)生在“做”的基礎(chǔ)上進行有意義的“思”才有促進學(xué)生解決問題的意義。例如，在教學(xué)長方體表面積計算時，提供長方體和正方體框架、長方體的表面積展開圖等學(xué)習(xí)材料，先讓學(xué)生動手操作，折一折、摸一摸、畫一畫，“解剖”長方體和正方體，在頭腦中初步建立長方體和正方體的直觀圖像，建立長方體6個面之間的關(guān)系的表象。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生思考長方體表面積如何計算。在這一過程中學(xué)生的“做”為“思”提供了豐富的感性材料，抓住了推導(dǎo)長方體表面積計算方法的關(guān)鍵，有助于學(xué)生形成探索性學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。

其次，先“思”再“做”?！白觥笔恰八肌钡氖侄?，在教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生“想好了再做”?！跋牒昧嗽僮觥笔菍W(xué)生形成探究意識的關(guān)鍵；“想好了再做”可以讓學(xué)生經(jīng)歷知識產(chǎn)生的過程，關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展；“想好了再做”可以使學(xué)生“做”的指向性更強，目的更明確，效率更明顯，對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，有條理、有程序地分析和解決問題大有裨益。例如，為什么經(jīng)常有學(xué)生在計算三角形面積時忘記除以2？實際上，這是因為學(xué)生缺乏這樣的經(jīng)驗：用兩個完全一樣的三角形就可以拼成一個平行四邊形，沿著一個平行四邊形的對角線剪開也可以得到兩個完全一樣的三角形。這時，讓學(xué)生思考為什么，“想好了”再向?qū)W生提供三角形和平行四邊形等學(xué)習(xí)材料，給予學(xué)生“做數(shù)學(xué)”充分的時間，讓學(xué)生動手操作實踐，親身經(jīng)歷拼、剪的過程，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成三角形面積的計算方法。

第三，“做思共生”?！白觥笔峭庖颍八肌笔莾?nèi)因，內(nèi)因外因相互作用才能更好地促進學(xué)生發(fā)展?！白觥北旧聿皇墙?jīng)驗，但“做”有助于學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的獲得，“做”能促進兒童心智的發(fā)展。例如學(xué)習(xí)蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級下冊“三角形三邊關(guān)系”時，先讓學(xué)生用能夠拼成三角形的三根小棒拼一拼；再讓學(xué)生用兩邊長度之和等于第三邊的三根小棒拼一拼；最后讓學(xué)生用兩邊長度之和小于第三邊的三根小棒拼一拼。學(xué)生“做思共生”，總結(jié)歸納出怎樣的三條邊可以圍成三角形。

二、 “做”中要出思想，引領(lǐng)學(xué)生感悟解決問題的方法

向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，是數(shù)學(xué)教學(xué)改革的新視角。讓學(xué)生掌握基本數(shù)學(xué)思想方法，既能使數(shù)學(xué)更易于理解，又能讓學(xué)生易于記憶。那么，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中怎樣讓學(xué)生通過操作“做數(shù)學(xué)”，來體驗知識背后的方法及蘊涵的思想呢？

首先，在動手做的過程中，讓學(xué)生感悟隱含的數(shù)學(xué)思想?！白鰯?shù)學(xué)”重點是從“教”轉(zhuǎn)向“學(xué)”，動手“做”是學(xué)生參與數(shù)學(xué)實踐活動的重要手段之一，動手操作獲得的數(shù)學(xué)思想方法更形象、更深刻，更能實現(xiàn)遷移，學(xué)生有了豐富的體驗感悟，能更好地提高學(xué)習(xí)能力。因此，在引導(dǎo)學(xué)生動手操作時，不能僅停留在為理解知識而“做”，更要讓學(xué)生在“做”中領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想方法。例如，教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級下冊“圓的面積”一課時，放手讓學(xué)生動手操作，將圓剪一剪、拼一拼，化曲為直、化圓為方，讓學(xué)生在觀察、操作、探究、交流、反思等活動中，逐步體會圓面積推導(dǎo)的過程，滲透轉(zhuǎn)化思想、感悟數(shù)形思想。這樣通過“數(shù)與形”的相互轉(zhuǎn)化結(jié)合，化抽象為直觀、化繁雜為簡單的方法，既培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，又掌握了要學(xué)的知識。

其次，滲透數(shù)學(xué)思想時，設(shè)計動手“做”促進學(xué)生理解。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容蘊含著很多數(shù)學(xué)思想，為了讓學(xué)生感悟、理解這些思想，提高解決實際問題的能力，我們應(yīng)該有意識地設(shè)計符合學(xué)生實際的動手做實踐活動，促進學(xué)生在操作中體驗、在體驗中感悟。例如，教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級上冊“平行四邊形的面積”時，利用學(xué)生學(xué)習(xí)已有的長方形知識，拿出準(zhǔn)備好的學(xué)具，讓學(xué)生動手操作，通過割補、分割、平移、翻折等途徑變形成長方形，進而分析兩種圖形的面積與底（長）、高（寬）之間的關(guān)系，得出平行四邊形面積計算公式。這個過程，學(xué)生不僅掌握了平行四邊形的面積公式， 更經(jīng)歷了推導(dǎo)過程，領(lǐng)悟了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，生體驗到成功的喜悅。

三、“做”中要見模型，揭示數(shù)學(xué)直覺背后所隱藏的本質(zhì)聯(lián)系

數(shù)學(xué)知識具有抽象性，而兒童思維又是具體形象的，這是一對矛盾。數(shù)學(xué)教學(xué)中的“做”，更多的是直觀觀察，但對于學(xué)生更深層次的學(xué)習(xí)來講，它遠(yuǎn)非學(xué)習(xí)的終點，最終還必須在直覺的基礎(chǔ)上獲得思維提升，建立解決問題的表象，擺脫具體事物的束縛，向抽象思維過渡，幫助學(xué)生形成穩(wěn)固的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，建立解決問題的模型。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)建立數(shù)學(xué)模型就要解決“抽象性”與“具體形象的矛盾”。有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純依賴模仿與記憶，動手實踐是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要方式。因此，合理及必要的操作，是學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型過程中的重要活動方式。endprint

首先，在“做”中誘發(fā)模型意識。在教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題，產(chǎn)生解題欲望，讓操作成為學(xué)生解決問題的內(nèi)心需求時，就能誘發(fā)學(xué)生的模型意識。例如“三角形三邊關(guān)系”教學(xué)，都知道三角形是由三條線段圍成的，那么，任意提供三條線段是不是就一定能圍成一個三形呢？對此，學(xué)生心存疑惑。這個時候，提供小棒，動手操作圍一圍，自然成為學(xué)生驗證自己內(nèi)心想法的一種強烈需求。學(xué)生在操作過程中發(fā)現(xiàn)任意兩邊長度和大于第三邊才能圍成三角形。這個操作，是真正建立在學(xué)生內(nèi)在需求礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)活動，有效激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)模型的思考與探索，學(xué)生主動建構(gòu)了數(shù)學(xué)模型。

其次，在“做”中豐富模型體驗。教學(xué)中可以發(fā)現(xiàn)，一些數(shù)學(xué)模型，非常抽 象，學(xué)生理解困難，容易混淆。這時，我們要盡量將抽象概念做具體演繹，將靜態(tài)描述轉(zhuǎn)化為動態(tài)操作過程，讓學(xué)生通過操作獲得直接感性體驗與認(rèn)識，在多角度操作體驗中逐步豐富模型屬性。如在教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級上冊“三角形的面積計算”，提供操作學(xué)具時，要多元化，既提供兩個完全相同的三角形，還要補充一些不完全一樣的三角形，讓學(xué)生在動手“做”的過程中遇到很多沖突和問題，反復(fù)多次地操作、討論后，終于發(fā)現(xiàn)只要是兩個完全相同的三角形就可以拼成一個平行四邊形，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律得出面積計算的公式。只有經(jīng)歷“做”的探索過程，學(xué)生才能在“做”中有體驗、有思考、有感悟，思想、方法才能在腦中沉積、凝聚，建構(gòu)出人人都能理解的數(shù)學(xué)模型。

第三，在“做”中生成模型表征。學(xué)生在操作中體驗、積累經(jīng)驗，是一種思維外化的過程，能夠助推其直覺思維和表象思維的發(fā)展，內(nèi)化為他們頭腦中的表象或圖式，并進一步深化為理性經(jīng)驗和認(rèn)識，形成數(shù)學(xué)模型。如在教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級上冊“平行與相交”一課時，如果只是讓學(xué)生感知生活中有關(guān)平行的具體素材，而沒有通過動手操作實踐，引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)的過程，學(xué)生在頭腦中建立的“平行線”數(shù)學(xué)模型，可能形態(tài)各異，而不是具有一般意義的數(shù)學(xué)模型。因此，應(yīng)該通過動手實驗的三個活動來引導(dǎo)認(rèn)識過程：第一個活動，在兩條平行線間作垂線；第二個活動，量一量這些垂線的長度；第三個活動，可以用什么辦法使兩條線始終保持平行。學(xué)生通過以上的實踐活動，經(jīng)歷了數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)過程，對平行的認(rèn)識與理解更直觀、更深入，就能生成具體、抽象的模型表征，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

四、“做”中要得經(jīng)驗，讓學(xué)生獲得解決問題的實際能力

“做數(shù)學(xué)”強調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個積累經(jīng)驗、理解數(shù)學(xué)、反思數(shù)學(xué)的過程，是引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)實踐中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，讓學(xué)生變被動地“聽”為主動地“做”的過程，“做”中要得經(jīng)驗，讓學(xué)生獲得解決問題的實際能力。

首先，從生活經(jīng)驗中遷移數(shù)學(xué)經(jīng)驗。生活中我們親自做過的事情，往往留下深刻印象；生活中我們親自經(jīng)歷的事情，往往留下清晰的記憶。數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)也不例外，學(xué)生經(jīng)歷了具體的數(shù)學(xué)活動之后，必定也留下基本活動經(jīng)驗。例如學(xué)習(xí)蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級下冊“三角形的內(nèi)角和”一課時，請學(xué)生自己動手“做”，把任意三角形的兩個角撕下來，將兩個角的頂點和第三角重合并依次拼接在一起，發(fā)現(xiàn)正好形成一個平角，很直觀地得出：三角形的內(nèi)角和是180°。這個過程，學(xué)生親自動手操作，從生活中拼一拼的經(jīng)驗，遷移到數(shù)學(xué)，獲得了對三角形內(nèi)角和的直觀感受，積累了活動經(jīng)驗。

其次，從操作經(jīng)歷中積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗需要實踐，需要學(xué)生親自經(jīng)歷，在“做”的過程中，學(xué)生能獲得直接經(jīng)驗，促進思維發(fā)展，而思維的發(fā)展又能讓學(xué)生更加樂于實踐。所以，應(yīng)該放手讓學(xué)生去動手、體驗，積累活動經(jīng)驗、思維經(jīng)驗。例如在教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》三年級上冊“一一間隔排列”一課時，在學(xué)生初步了解什么是一一間隔后，提出問題：用4個正方形和5個三角形擺一排，能做到嗎？讓學(xué)生用正方形和三角形進行自主操作，通過動腦想、動手?jǐn)[、動口說，感受一一間隔排列規(guī)律，并在操作活動中積累了豐富的直接活動經(jīng)驗。通過引導(dǎo)學(xué)生對操作活動過程的回顧和思考，深入體會并促進學(xué)生理解一一間隔規(guī)律，鼓勵學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出一一間隔排列的兩種不同情況。從而使學(xué)生進一步完善對間隔排列的兩種物體間數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識，豐富了對一一對應(yīng)這一數(shù)學(xué)方法的體驗，積累了豐富的活動經(jīng)驗。

第三，從反復(fù)經(jīng)歷中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)經(jīng)驗。沒有經(jīng)歷，一定沒有經(jīng)驗，但經(jīng)歷了不等于獲得了經(jīng)驗。學(xué)生的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，是在學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動、經(jīng)歷學(xué)習(xí)的過程中獲得的，是在學(xué)生個體感覺的基礎(chǔ)上獲得的。由于個體存在差異，學(xué)生雖然經(jīng)歷了同樣的活動，但是參與活動的程度和個體之間感悟數(shù)學(xué)的水平是存在差異的，獲得的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗也就各不相同。所以在活動中，我們要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)活動的全過程，讓學(xué)生在反復(fù)經(jīng)歷中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)經(jīng)驗。例如，在教學(xué)“一一間隔排列”一課時，要通過不同素材構(gòu)成的題組對比，讓學(xué)生不斷動手操作開展實踐活動，加深學(xué)生對兩種物體一一間隔排列的認(rèn)識?；顒邮侵庇^的、經(jīng)驗是直接的，在反思中不斷形成經(jīng)驗，不斷經(jīng)歷積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的過程，才能更好地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)經(jīng)驗。

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[責(zé)任編輯：陳國慶]endprint