常微分方程在數學建模中的應用

廖莉

【摘要】常微分方程是在解答各種數學問題中的常用方法，一般將整個數學現象進行分析總結，然后對其中的各種關系進行抽象化的理解。最終運用一個抽象的公式將復雜的數學問題轉化為簡單的數學模型。這就是數學建模中常微分方程的一般應用過程，文章將對這一應用進行探討。

【關鍵詞】常微分方程 數學建模 應用

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）38-0139-02

1.前言

數學建模中經常會應用到常微分方程思維，這種方法大大降低了實際問題的難度，將一種抽象化的思維模式運用到實際問題的解答過程中，會給解題過程帶來很大的方便。而且作為數學研究領域中的中心學科，運用常微分方程可以解答實際生活中遇到的各種問題。本文將圍繞常微分方程中數學建模的應用進行深入的分析研究。

2.常微分方程與數學建模結合的特點

對不同的運算對象我們需要有不同的數學模型來與之相對應，才能在進行更加復雜的運算過程中不會出現數據的缺失和混亂。同時還要完成對研究對象的建模目的的簡化過程。其次，還要在其它類似的模型中尋找解答問題的關鍵，也就是與其相似的解題規律或思路。這樣的操作就可以做到對其結果的有效反饋，從而正確得出實際問題的答案。[1]當然數學建模本身就是一個需要分析問題、解決問題的創造性思維運用的過程。所以需要找準切入點，才能結合常微分方程很好地解題，從而充分體現建模思維的解題策略。常微分方程的解題思路將給我們的抽象化思維帶來一種新的解題體驗，它可以將數學模型中的各種復雜關系用一種最為凝練的數學運算來表達。整個的推導過程雖很繁瑣，但是這種解題方式、思維方式的運用，與數學建模方法的結合使用，將會給數學問題的解答帶來很多意想不到的好處。現在人們常將常微分方程與數學建模方法結合使用。這樣會實現對復雜現實問題的簡化，常微分方程在數學建模中的應用也使得數學科學步入快速發展階段。[2]

3.數學建模中的常微分方程應用

3.1產品推廣模型的建立

與數學關聯緊密的經濟學、管理學中，經常要對所研究問題變量的變化、增長等實際問題進行討論。需要把常微分方程與數學建模結合起來，并對其中的變化規律進行公式化的總結。比如某公司將一種新型的產品推廣到市場當中，T時的銷售數目為Y（T），而且產品贏得了較好的口碑，銷售良好。那么，這種產品T時的產品銷售量的增加量dT/dY與Y（T）是成正比的，這種產品的銷售量也會達到飽和。市場最大消耗量M，根據公司的調查結果dT/Y（T）與此種商品的潛在銷售量之間也成正比關系。因此可以得出dY/dT=kY（M-Y），這其中的常數k是大于零的數，經過進一步的運算簡化可以得到y（t）=m/（1+Ce-kmt）。并由dy/dt=cm2ke-kmt/（1+Ce-kmt）和d2y/dt2=ck2m3e-kmt（Ce-kmt-1）/（1+Ce-kmt）3，那么如果y（t*）處于零到m之間時，dt/dy大于0，就會出現銷量的遞增，反之就會出現銷量的遞減。

3.2通風問題的模型

通風問題就是指某些工廠，比如化工廠在進行生產過程中會產生很多的有毒有害氣體。如果不能及時將這些有毒有害氣體排出工廠車間，將會對車間內員工產生極大的危害。要保證足量的氧氣注入，就是化工廠面臨的通風問題。比如在一個一萬立方的工廠車間中，空氣中的二氧化碳含量為萬分之十二，新鮮空氣中的含量為萬分之四。如果需要在十分鐘之后要其含量低于萬分之六，那么每分鐘要注入多少新鮮空氣？根據具體的關系式：進入量（排走量）=進入速度*氣體濃度*所用時間，氣體的實際增加量=注入量-排走量。[3]根據實際情況并結合常微分方程與數學建模方法的思路，可以假設在某一時刻s，二氧化碳的總量為wx，另一時刻s+ds為w（x+dx），所以利用常微分方程可以得到增量為wdx，即wdx=agds-axds，化簡之后就可以得到dx/（x-g）=-ads/w。經過運算得出a=-1080ln0.25，也就是體積流量a=1500m3/min。也就說每分鐘通入1500立方的新鮮空氣就可以在十分鐘之后使工廠車間內的二氧化碳含量低于萬分之六。

4.結束語

通過以上分析，我們可以看出常微分方程在數學建模應用中的巨大優勢。對于建模思維的充分運用以及對于復雜數學問題的簡化發揮極大作用。因此，在以后的數學發展研究中，我們要抓住常微分方程在數學建模中的應用，才能拓展在數學領域的發展。

參考文獻：

[1]郝文斌.常微分方程在數學中的應用[J].理工發展.2014（10）44-47

[2]王保平.數學建模的多方面應用[J].學術論壇.2016（5）102-104

[3]陳華.常微分方程的發展應用[J].2016（1）77-79endprint