多角度構(gòu)造函數(shù)

侯禹　　鄭瑩瑩

[摘 要] 構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對學(xué)生的能力要求很高，但它能另辟蹊徑，繞過一些思維的定式. 通過不同的角度對函數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行構(gòu)造，可以使得學(xué)生加深對函數(shù)的理解，并且利用函數(shù)構(gòu)造的方法解題，也是數(shù)學(xué)中一種常用的方法. 通過不斷地變換形式，對函數(shù)的性質(zhì)有更廣泛的認(rèn)識.

[關(guān)鍵詞] 函數(shù)結(jié)構(gòu)；多角度構(gòu)造；結(jié)構(gòu)認(rèn)識

例：設(shè)0

解法一：由題g（x1）-g（x2）=（1-b）·（x1-x2）+ （x -x ）+ln .

因為g′（x）= ，

所以g′（x）=0時，x1+x2=b-1，x1x2=1，

所以g（x1）-g（x2）=（x1+x2）（x2-x1）+ （x -x ）+ln =ln - =ln - - .？搖

設(shè)t= ∈（0，1）且 =（b-1）2≥ ，所以t+ ≥ ，0

令h（t）=lnt- t- ，t∈0， ，h′（t）= <0，所以函數(shù)y=h（t）單調(diào)遞減，所以h（t）≥h = -2ln2.

上述解法顯然對學(xué)生能力的要求比較高，是將x1，x2的整體結(jié)構(gòu)視為一個自變量，其中還有一些代換，如“1”的代換達(dá)到升次目的，從而才能配湊出想要的整體結(jié)構(gòu). 另外韋達(dá)定理將常數(shù)換為和，同樣是要達(dá)到升次換元目的.

解法二：由法一知

g（x1）-g（x2）=ln + （x1-x2）=ln + （x1+x2）（x2-x1）=2lnx1+ -x .？搖 令m（x）=2lnx+ -x2，m′（x）= - -x= = <0，而x1+x2=b-1=x1+ ≥ ，0

解法二的想法比較直白，就是想辦法消掉x2與b，這樣處理起來方向比較清楚，當(dāng)然這里在消元處理的時候還是要結(jié)合韋達(dá)定理，這也是極值點滿足的信息要充分利用起來.

解法三：由x1，x2是方程x2+（1-b）x+1=0的兩個根，所以x1= ，x2= ，令b2-2b-3=Δ，將上式代入到g（x1）-g（x2）中得到

g（x1）-g（x2）= +ln = +ln = +ln .

令（b-1） =t≥ ，則f（t）=g（x1）-g（x2）= +ln - ，所以f′（t）= - >0，所以函數(shù)y=f（t）在t∈ ，+∞上遞增.

所以函數(shù)y=f（x）在t∈ ，+∞上的最小值為f = -2ln2.

這個解法應(yīng)該是很多學(xué)生能夠想到，但是不敢下筆的，就是老老實實地求根，統(tǒng)一成字母b的函數(shù)求最值. 實際上我們操作起來發(fā)現(xiàn)并不是很困難，就是將比較復(fù)雜的式子整體換元使函數(shù)解析式變簡單，再求導(dǎo)求最值.

解法四：因為g′（x）=x+ -b+1，當(dāng)g′（x）=0時，則x+ =b-1≥ .

因為g′（x）=x+ -b+1的參數(shù)只在常數(shù)里面，說明原函數(shù)走勢不變.

所以當(dāng)x2-x1越小，則g（x1）-g（x2）越小，所以b-1= 時，x2=2，x1= ，

所以所求最小值為g -g（2）= -2ln2.