一道課本習(xí)題改編的一組高考題

李瑞杰

[摘 要] 高考卷向來(lái)重視對(duì)教材例題、習(xí)題的挖掘、引申和改造，體現(xiàn)“深入教材，又高于教材”，做到重基礎(chǔ)、考能力. 教師要引導(dǎo)學(xué)生抓綱靠本，強(qiáng)調(diào)變式，培養(yǎng)思維的靈活性和創(chuàng)造性.

[關(guān)鍵詞] 高考；課本；改造

高考全國(guó)卷向來(lái)重視對(duì)教材例題、習(xí)題的挖掘、引申和改造，體現(xiàn)“深入教材，又高于教材”，做到重基礎(chǔ)，考能力.下面以人教版選修2-1P49第7題為例，看看高考題是如何由習(xí)題改造的.

P49習(xí)題2.2如圖1，圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn).線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？

解答：連接QA，因?yàn)榫€段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，

所以PQ=AQ，OQ+PQ=OQ+AQ=r（r>OA）.

根據(jù)橢圓定義，點(diǎn)Q的軌跡是橢圓，它的焦點(diǎn)為O，A.

引申1：對(duì)題目中的“線段AP垂直平分線l和半徑OP相交于Q”改成直線l過(guò)點(diǎn)B（1，0）且與X軸不重合，交圓A于C，D，過(guò)B作AC的平行線交AD于E”，就得到某地高考第20題第1問(wèn)：

設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E，證明EA+EB為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程.

分析：本題的關(guān)鍵是作圖；因?yàn)椤鰽DC是等腰三角形∠ACD=∠ADC，又因?yàn)镋B∥AC，所以∠EBD=∠ACD，EB=ED，所以EA+EB=r.

解答：圓A整理為（x+1）2+y2=16，A坐標(biāo)為（-1，0），如圖2，因?yàn)锽E∥AC，AC=AD，則∠D=∠C，∠C=∠EBD，

所以∠EBD=∠D，則EB=ED，EA+EB=4﹥2滿足橢圓定義，

？搖所以E的軌跡為一個(gè)橢圓，方程為 + =1（y≠0）.

點(diǎn)評(píng)：本題把習(xí)題中利用垂直平分線性質(zhì)改為利用等腰三角形和平行線的性質(zhì)，突出了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查.

引申2：對(duì)習(xí)題中“線段AP垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，改成圓N：（x-1）2+y2=9，動(dòng)圓P和圓M外切并且與圓N內(nèi)切，求圓心P的軌跡，就得到某地高考第20題第1問(wèn)：

圓M：（x+1）2+y2=1，圓N：（x-1）2+y2=9，動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線 C，求C的方程.

分析：由兩圓外切、內(nèi)切得到PM=r+1，PN=3-r，所以PM+PN=4﹥2，關(guān)鍵是畫(huà)圖，聯(lián)想兩圓外切、內(nèi)切的連心線.

解答：如圖3，連PM，PN，則PM=r+1，PN=3-r，所以PM+PN=4﹥2，滿足橢圓定義，所以圓心P的軌跡是橢圓，C的方程為 + =1.

點(diǎn)評(píng)：本題把習(xí)題中利用垂直平分線性質(zhì)改為利用兩圓外切、內(nèi)切的連心線性質(zhì)，突出地考查了思維的靈活性.

引申3：對(duì)習(xí)題中“線段AP垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q”，改成點(diǎn)G在MP上，且滿足 =2 ， · =0，得到某地高考第20題第1問(wèn).

已知圓M：（x+ ）2+y2=36，定點(diǎn)N（ ，0），點(diǎn)P為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿足 =2 ， · =0，求點(diǎn)G的軌跡方程.

分析： =2 ，說(shuō)明Q點(diǎn)是NP中點(diǎn)，又 · =0，說(shuō)明GQ與NP垂直，所以GQ 是NP的垂直平分線，回到習(xí)題第7題的條件了.

解答：（1）因?yàn)?=2 ，所以N為NP的中點(diǎn). 又因?yàn)?· =0，所以GQ為PN的中垂線，所以GP=GN，所以PG+GM=GM+GN=2a=6>2 ， 滿足橢圓定義，所以方程為 + =1.

點(diǎn)評(píng)：加入向量共線和垂直內(nèi)容后，加深題目難度，體現(xiàn)了解幾與向量的交匯，突出對(duì)能力的要求.

？搖？搖從上面改編的幾道高考題可以看出，高考題很多是課本習(xí)題的延伸，因此無(wú)論是新課教學(xué)，還是高考復(fù)習(xí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生抓綱靠本，對(duì)課本中一些典型例題、習(xí)題要講透思想方法，重視解題過(guò)程，強(qiáng)調(diào)變式訓(xùn)練和題組訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和創(chuàng)造性.