一道模考題引發的思考

劉在云

[摘 要] 教師在平時的教學之余，對習題的整理、加工與反思對學生解決復雜問題有舉一反三的作用，讓學生從一道習題的“一斑”窺數學解題中一類問題之“全豹”. 通過一道模考試題對《坐標系與參數方程》的研究可以讓學生解決這一類問題.

[關鍵詞] 坐標系；參數方程；極坐標方程

筆者近日在整理教學資料時，偶然發現一道好題，這是2016年蘇錫常鎮高三三模的一道考查《坐標系與參數方程》的附加題，回味之余，有些隨想，寫下來，與讀者共勉.

題目：在平面直角坐標系xOy中，直線l過點M（1，2），傾斜角為 ，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C：ρ=6cosθ，若直線l與圓C相交于A，B兩點，求MA·MB的值.

本題主要考查了直線的點斜式方程、曲線的普通方程與極坐標方程的互化、直線的參數方程、直線與圓的位置關系、弦長的求法、點到直線的距離公式、方程組的思想方法等主干知識，涉及知識面廣，解題方法多元化，全面考查了學生分析問題及解決問題的綜合能力，對提高學生的綜合發散思維能力及數學素養有很大幫助.

要解決本題，學生必須認真讀題、審題，了解該題所涉及知識點，并能夠正確地回憶出相關概念、公式：

（1）直線的點斜式方程. 直線方程是江蘇高考的八個C級考點之一，教材中學習了五種直線方程的基本形式，其中，直線的點斜式方程是其他四種方程之根本，學生如若對直線方程的點斜式不能正確寫出，那么此題的后續解答就無法進行下去.

（2）曲線的普通方程與極坐標方程的互化.普通方程與極坐標方程的互化，其實就是將平面直角坐標系中的原點與極坐標系的極點重合，將極軸與x軸的正半軸重合，在相同的長度單位下，將直角坐標與極坐標進行相互轉化，進而將曲線的方程進行互化. 準確地進行方程的轉化，是解決與極坐標有關問題的關鍵.

（3）相關重要公式. 涉及直線與圓相交的問題，大多數情況下會與點到直線距離公式、弦長的求法關聯在一起，數形結合思想在此種題型中應用也非常廣泛. 這就要求學生平時在解題時必須養成作簡圖的好習慣，輔助解題，對半徑、弦、弦心距構成的直角三角形要牢記于心.

（4）直線的參數方程. 學生在學習參數方程時，往往忽視在已知條件下寫直線參數方程的鍛煉，而習慣于根據直線的參數方程，消去參數，寫出直線的普通方程. 一旦出題者顛覆思維定式，讓題目在普通方程下求解變得計算量非常大時，考生就會被卡住，失去此題的分數.

另外，若如題目意圖就是想讓考生利用直線參數方程去解答，那么參數方程中參數的幾何意義必定考查，這點一定切記.

學生只有對上述知識點有了清晰的認識與掌握之后，才能進入后續的解題，當然，解題思路與方法的選擇與學生個人對相關知識的掌握和熟練程度有關.下面給出了三個學生考試時的解答過程.

學生甲：由題意，可得直線l的普通方程：y-2= （x-1），即 x-y+2- =0.

將圓C：ρ=6cosθ化成普通方程為：

x2+y2-6x=0，聯立方程組 x-y+2- =0，x2+y2-6x=0，將直線方程代入圓的方程，有4x2+（4 -12）x+7-4 =0，……

點評：再往后，學生甲解不下去了，可以預見，如若繼續解下去，要求出交點A，B的坐標，再用兩點距離公式求MA，MB，計算量是多么巨大，在考試所限時間之內根本無法解得出來.

學生乙：由題意，可得直線l的普通方程：y-2= （x-1），即 x-y+2- =0.

將圓C：ρ=6cosθ化成普通方程為：（x-3）2+y2=9，圓心C（3，0），半徑r=3，所以C到直線l的距離CH= = +1.

因為CM=2 ，所以HM= -1，

而AH= = ，

所以MA·MB=（ + -1）[ -（ -1）]=5-2 -4+2 =1.

點評：學生乙的解法巧妙地運用了求弦長的策略，在學生甲解法的基礎上提升不少，雖解出了正確答案，但在數據的處理上需要不少的技巧.

學生丙：由題意，將圓C：ρ=6cosθ化成普通方程為：x2+y2-6x=0，寫出直線l的參數方程：x=1+tcos ，y=2+tsin ， （t為參數），即x=1+ t，y=2+ t，（t為參數），將直線l的參數方程代入圓C：x2+y2-6x=0中，整理，有t2+2（ -2）t-1=0，所以t1·t2=-1，所以MA·MB=t1·t2=1.

點評：不難看出，學生丙的解法比學生甲、學生乙更勝一籌，由于運用了直線參數方程中參數的幾何意義，減少了計算量，所以因計算帶來失誤的概率會大大降低，解題所需時間會大大減少.

坐標系與參數方程的題目，是附加題第21題選做題的第3題，屬于容易題. 學生能否拿到滿分，主要取決于學生對基本概念、公式的掌握程度，解題時能否將平時所學的零碎的知識有效地整合在一起，轉化成解題能力，能否正確、規范地書寫解題過程.

在高三三輪復習教學中，教師應通過典型的考題，引導學生回顧、整合以前所學知識，要求學生在解題后進行反思，透過題目表象，看清出題者的意圖，長此以往，定能幫助學生達到“解一道題，會一類題”的高度.