一題多變，看函數y=Asin（ωx+φ）圖像

鄭榮坤

[摘 要] 對一道函數y=Asin（ωx+φ）圖像題多變、錯解、多解的研究，幫助學生識函數y=Asin（ωx+φ）圖像，理解數y=Asin（ωx+φ）圖像變換、應用.

[關鍵詞] 函數圖像；圖像變換；圖像應用

函數y=Asin（ωx+φ）圖像是高中數學《三角函數》的高頻考點，多以選擇、填空題的形式出現于歷年各地考卷中. 因此，高三數學教師要重視“函數y=Asin（ωx+φ）圖像”的教學，力爭讓學生熟悉掌握函數y=Asin（ωx+φ）圖像，圖像變換、應用.

典例：看函數y=Asin（ωx+φ）圖像

典例：已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）A>0，ω>0，φ？搖< 在一個周期內的圖像如圖1所示，求y=f（x）的解析式.

圖1

考點分析：由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖像，確定函數解析式.

危險解法：由圖像容易看出，振幅A=2，周期T= -- =4π，ω= = ，由于ω>0，所以角速度ω= .

將 ，0代入函數解析式，得 × +φ=kπ（k∈Z），解得φ=kπ- （k∈Z）.

因為φ< ，所以k=1，φ= . 因此，f（x）=2sin + .

危險原因：上面解法看似很嚴密，危險出在何處？如果把“φ< ”改為“φ<π”，那么φ的值為多少？學生的答案：k=1，φ= 或者k=0，φ=- . 實際上，把“φ< ”改為“φ<π”答案不變，仍為φ= ，而同學們使用上述解法就產生了增根，所以才說上述解法是“危險解法”，給定的φ取值范圍變大，根的個數就增多.

解法1（代零點求φ）：因為 ，0是函數的遞減零點，所以將 ，0代入函數解析式，得 × +φ=2kπ+π（k∈Z），解得φ=2kπ+ （k∈Z）. 因為“φ<π”，

所以k=1，φ= .

解法2（代波峰點求φ）：將 ，2代入函數解析式，得 × +φ=2kπ+ （k∈Z），

解得φ=2kπ+ （k∈Z）. 因為φ< ，所以φ= .

解法3（五點法求φ）：將- ，0代函數解析式，由于點- ，0相當于正弦函數“五點法”作圖中的第一個關鍵點，所以 ×- +φ=2kπ（k∈Z），解得φ=2kπ+ （k∈Z）. 因為“φ<π”，所以k=0，φ= .

評注：振幅A：看函數圖像的波峰（或波谷）；角速度（角頻率）ω：看函數圖像周期；求初相φ既是難點也是易錯點，求法兩種：“代點法”、“五點法”. “代點法”可以選擇代零點，也可以選擇代波峰或波谷點，并且代波峰點可以得到ωx+φ=2kπ+ （k∈Z），代波谷點可以得到ωx+φ=2kπ+ （k∈Z），不管代波峰點還是波谷點都比較容易. 但代零點，給定φ的大范圍，很容易產生“增根”. 如果要避免產生“增根”，那么務必先判斷此零點所在區間的單調性. 代單調遞減區間上的零點，可以得到ωx+φ=2kπ+π（k∈Z）；代單調遞增區間上的零點，可以得到ωx+φ=2kπ（k∈Z）. 顯然，“代零點”比“代波峰或波谷點”麻煩，因此，建議選擇代波峰或波谷點求φ，“五點法”也不錯.

變式：看函數y=Asin（ωx+φ）圖像變換

變式1：要得到函數y=2sin + 的圖像，只需將函數y=2sin - 圖像的縱坐標不變，橫坐標向______單位長度. （ ）

A. 向左平移π

B. 向右平移π

C. 向左平移

D. 向右平移

考點分析：函數f（x）=Asin（ωx+φ）圖平移變換.

錯誤解法：由函數解析式y=2sin + 得y=2sin + =2sin + - ，

所以函數y=2sin - 圖像縱坐標不變，橫坐標向左平移 單位長度.

錯誤原因：利用畫圖工具畫出函數圖像，從圖像就容易看出上面的變換是錯誤的.

解法1（待定法）：設f（x）=2sin - ，則f（x+α）=2sin （x+α）- ，0≤α<2π. 由 （x+α）- = + ，解得α=π. 因為把函數f（x）圖像縱坐標不變，橫坐標向左平移π單位長度，就得到函數f（x+π）的圖像，故本題正確選項為A.

解法2（配湊法）：設f（x）=2sin - ，由于2sin + =2sin + - =2sin （x+π）- =f（x+π）. 因為把函數f（x）圖像縱坐標不變，橫坐標向左平移π單位長度，就得到函數f（x+π）的圖像，故本題正確選項為A.

解法3（平移波峰點法）：因為原點附近的波峰點平移情況，與函數整體圖像的平移情況一致.所以，對于函數y=2sin - ，令 - = ，解得x= ，波峰點A坐標為 ，2；對于函數y=2sin + ，令 + = ，解得x= . 波峰點B坐標為 ，2. 觀察兩個函數在原點附近的兩波峰點平移情況，由于從點A ，2平移到點B ，2：縱坐標不變，橫坐標向左平移π單位長度. 故本題正確選項為A.

解法4（排除法）：函數圖像的變換方向：y=2sin - ？圯y=2sin（ + . 觀察兩個函數解析式，不難發現： - ？圯 + ，向左平移（“負變正”即“小變大”），故排除選項B、D. 再觀觀察兩個函數解析式，不難發現：從- 到 ，平移 單位長度；而 - 與 + 中x系數都為 ，所以平移π單位長度，排除C. 故本題的正確選項為A.

思考1：（1）函數y=2sin + 的圖像如何變換，使得函數圖像關于原點對稱？

（2）函數y=2sin + 的圖像如何變換，使得函數圖像關于y軸對稱？

評注：不管是“待定法”還是“配湊法”，實質上都是研究f（x）與f（x±α）函數解析式的關系.設變換前函數為y=f（x），變換后函數為y=f（x±α）.使用“待定法”或“配湊法”，求函數f（x±α）中α的值.就y=f（x+α）而言，若α>0，則向左平移α單位長度；若α<0，則向右平移α單位長度，而秒殺“函數圖像左右平移變換”選擇題的方法有：“平移波峰點法”、“排除法”.不管采用哪種方法，“函數圖像左右平移變換”要特別注意函數解析式中x的系數.采用“待定法”、“配湊法”、“平移波峰點法”都可以快速求解思考1，參考答案為：（1）縱坐標不變，橫坐標向左平移 或向右平移 單位長度；（2）縱坐標不變，橫坐標向左平移 或向右平移 單位長度.

變式2：已知函數f（x）=2sin + ，則下列說法正確的是

（ ）

A. f（x）的周期為4π

B. f（x）圖像的對稱軸為x=2kπ+ ，k∈Z

C. f（x）圖像的對稱中心為2kπ- ，0，k∈Z？搖

D. f（x）在區間 ， 上單調遞增

考點分析：函數f（x）=Asin（ωx+φ）圖像翻折變換，求三角函數的周期、對稱、單調.

解法：畫出函數y=2sin + 圖像，在x軸上方的不變，在x軸下方的部分（沿x軸）翻折到上方，就得到函數f（x）=2sin + 圖像. 觀察圖像容易得出：周期為2π，對稱軸為x=kπ+ ，k∈Z，沒有對稱中心，在區間 ， 上單調遞增.

故本題的正確答案為D.

思考2：已知函數f（x）=2sin + ，則f（x）是否為周期函數，有沒有對稱軸、對稱中心，f（x）還在區間 ， 上單調遞增嗎？

評注：求解三角函數的周期、對稱、單調等： 利用“形如f（x）=Asin（ωx+φ）的函數圖像”進行數形結合求解.學生除了熟悉掌握“f（x）=Asin（ωx+φ）”，還要掌握函數圖像的翻折和對稱變換. 函數f（x）圖像：翻折變換；函數f（x）圖像：對稱變換.三角函數的周期、對稱、單調等問題，常常利用“形如f（x）=Asin（ωx+φ）的函數圖像”進行數形結合求解. 上述選擇題就可以利用“排除法”求解，同學們自己試試. 利用對稱變換不難得到思考2的圖像，利用數形結合就可以求出思考2，參考答案為：f（x）不是周期函數，沒有對稱中心，對稱軸為y軸，在區間 ， 上單調遞增.

變式：看函數y=Asin（ωx+φ）圖像應用

變式3：已知f（x）= ，則f（x）的定義域為__________.

考點分析：由解三角不等式，求函數定義域.

解法：由2sin x+ -1≥0，解得sin x+ ≥ .

則2kπ+ ≤ x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，解得4kπ- ≤x≤4kπ+ ，k∈Z.

故f（x）的定義域為4kπ- ，4kπ+ ，k∈Z.

評注：求解“形如f（x）=Asin（ωx+φ）”函數定義，常為求解三角不等式.只要學生借助函數y=Asin（ωx+φ）圖像，便可以快速解決.上述求解“sin x+ ≥ ”，還可以利用正弦線.

變式4： sin +cos ≥2a-1在區間[0，2π]上恒成立，則a的取值范圍為________.

考點分析：由解三角最值，求參數取值范圍.

解法：由于 sin +cos =2sin + ，令f（x）=2sin + ，

sin +cos ≥2a-1在區間[0，2π]上恒成立，只需f（x）min≥2a-1，x∈[0，2π].

由函數f（x）圖像，解得f（x）min=- （x∈[0，2π]），則- ≥2a-1，解得a≤ .

故a的取值范圍為-∞， .

評注：三角不等式恒成立，求參數取值范圍的問題，常通過分離參數，轉化為求三角函數最值的問題，只要熟悉掌握三角函數圖像畫法，問題就簡單了. 而上述題目中，也可以令θ= + ，畫出y=2sinθ在區間[0，2π]上圖像，從而求解函數的最值.

變式5：設常數a使方程cos2 -sin2 -cos = a在區間[0，4π]上恰有三個不同的實數解x1，x2，x3，則x1+x2+x3=__________.

考點分析：運用三角公式進行化簡，求解三角函數的零點.

解法：因為cos2 -sin2 -cos =cos -cos1008π+ + =cos +sin = sin + ，所以 sin + = a，即2sin + =a.

求方程cos2 -sin2 -cos = a在區間[0，4π]上恰有三個不同的實數解x1，x2，x3，只需求函數y=2sin + 圖像與直線y=a在區間[0，4π]上恰有三個交點橫坐標x1，x2，x3. 由圖像易知， = ，x3=4π.

故x1+x2+x3=5π.

評注：初看題目很復雜，但仔細觀察，容易看出，利用三角公式（二倍角公式、誘導公式）化簡方程左邊為2sin + =a，由函數f（x）=Asin（ωx+φ）圖像數形結合求解. 可見，求解三角函數的零點：利用函數f（x）=Asin（ωx+φ）圖像.

變式6：已知ω>0，函數f（x）=2sinωx+ 在區間 ，π上單調遞減，則ω的取值范圍是（ ）

A. ， ？搖？搖？搖？搖 B. ，

C. 0， ？搖？搖？搖 D. （0，2]

考點分析：求解“形為f（x）=Asin（ωx+φ）的含參函數”的單調問題.

解法1（利用三角圖像變換求解）：將得到函數f（x）=2sinωx+ 的圖像，只需把函數y=2sinx+ 圖像的縱坐標不變、橫坐標縮短為原來的 （ω>0）. 而函數y=2sinx+ 在區間2kπ+ ，2kπ+ （k∈Z）上單調遞減，則y=2sinωx+ .

在 2kπ+ ？搖， 2kπ+ ？搖（k∈Z）上單調遞減. 因為y=2sinωx+ 在區間 ，π上單調遞減，所以 ，π為 2kπ+ ？搖， 2kπ+ （k∈Z）的子集，并且π- ≤ = （ω>0）？圯0<ω≤2，則

2kπ+ ≤ ， 2kπ+ ≥π，0<ω≤2，

解得4k+ ≤ω≤2k+ （k∈Z），0<ω≤2， 則k=0， ≤ω≤ . 因此，ω的取值范圍是 ， .

解法2（利用三角單調性求解）：令2kπ+ <ωx+ <2kπ+ ，k∈Z，

則 2kπ+

由于π- ≤ = （ω>0）？圯0<ω≤2，則k=0， ≤ω≤ .

故ω的取值范圍是 ， .

解法3（特殊值排除法）：分析各選項容易發現，只有D選項中2∈（0，2]. 取ω=2，此時f（x）=2sin2x+ ，不難得到f（x）在區間 ，π上非單調遞減，故排除D選項；分析A、B、C各選項容易發現，只有A選項中1∈ ， ，取ω=1，此時f（x）=2sinx+ ，不難得到f（x）在區間 ，π上單調遞減，排除B、C選項. 故本題的正確選項為A.

思考3：已知ω>0，函數f（x）=2sinωx+ 在區間 ，π上單調遞增，則ω的取值范圍是________.

評注：變式6是三角函數的綜合題目，大部分學生都不會做.實際上，求解方法有3種：

利用三角圖像的平移伸縮變換求解、利用三角函數的單調性求解、利用“特值排除法”求解.第一種方法是先求函數y=2sinx+ 單調區間，由函數圖像平移伸縮變換，求出函數f（x）=2sinωx+ 單調區間，再根據 ，π為其子集列求解；第二種方法是把ωx+ 看成θ，由y=sinθ的單調區間，求y=2sinωx+ 的單調區間，再根據 ，π為其子集列求解. 而兩種方法的過程中都出現兩個參數ω，k，確定k取值是難點，難點從由π- ≤ 確定ω的取值范圍來突破.不管什么難度系數的選擇題，特殊值排除法都為非常好的方法. 學生們只要采用第一或第二種方法，就可以解決思考3，參考答案為：0<ω≤ .

綜上所述，求解三角函數的周期、對稱、單調、定義域、最值、零點等，常利用函數y=Asin（ωx+φ）圖像，故學生必須多看函數y=Asin（ωx+φ）圖像. 一題多變猶如望遠鏡，學生戴上它就能望過“函數y=Asin（ωx+φ）圖像變換、應用”的一片知識汪洋.