用“數學現象”啟發學生“問題意識”的課堂教學嘗試

徐建東

[摘 要] “問題是數學的心臟”，弗賴登塔爾說過：“與其說是學習數學，還不如說是學習‘數學化.” 課本上的過分“成熟”的題目使學生跳過了“數學化”的過程，不利于全面地培養學生的“問題意識”. 學生在學習過程中“提出問題的意識”幾乎被忽略，導致學生只會被動地做題，而不會主動地提出問題. 學生認為，學習數學就是學會解題，使數學學習變得枯燥無味. 如果我們在教學中能把“數學問題”還原為“數學現象”，可以讓學生從“數學事實”開始，先自己“提出問題”，然后再“解決問題”，讓他們深度地參與“數學活動”，增強“數學體驗”，促進領悟與反思.

[關鍵詞] 數學現象；問題意識；自主探究

“問題是數學的心臟”，弗賴登塔爾說過：“與其說是學習數學，還不如說是學習‘數學化. ”課本上的絕大多數數學題都把問題給定了，這種過分“成熟”的題目使學生跳過了“數學化”的過程，不利于全面地培養學生的“問題意識”. 學生在學習過程中“提出問題的意識”幾乎被忽略，導致學生只會被動地做題，而不會主動地提出問題. 久而久之，學生認為學習數學就是學會解題，使數學學習變得枯燥無味. 如果我們在教學中能把“數學問題”還原為“數學現象”，可以讓學生從“數學事實”開始，先自己“提出問題”然后再“解決問題”，讓他們深度地參與“數學活動”，增強“數學體驗”，促進領悟與反思.

筆者結合高三專題復習教學，嘗試用“數學現象”啟發學生“問題意識”的所思所悟整理成文，與同行交流.

概念界定

1. 數學現象

把客觀事實呈現給學生，讓他們用數學的觀點進行觀察和探究，這個事實就成了學生眼中的數學現象. 這里的“客觀事實”可以是生活中的事實，也可以是數學中的事實，也可以是為了教學而虛構的事實，但其中的數學問題是隱含的而不是外顯的，其中的數學結構是符合學生數學現實的. 總之，在數學化之前的那個素材，就是數學現象.

2. 問題意識

指問題成為感知和思維的對象，從而在心里造成一種懸而未決但又必須解決的一種心理狀態. 本文中的“問題意識”是指學生用數學的眼光，從所給現象中發現數學結構、進行描述以及用數學方法解決和評價的心理趨向.

課堂摘錄

引例：（南京市、鹽城市2015屆高三第一次模擬考試卷第13題）已知函數f（x）是定義在[-2，2]上的奇函數，當x∈（0，2]時， f（x）=2x-1，函數g（x）=x2-2x+m，如果對任意的x1∈[-2，2]，總存在x2∈[-2，2]使得f（x1）=g（x2），求實數m的取值范圍.

教師：我們有沒有處理過此類問題的經歷？通過這種經歷我們是否已積累了一定的經驗？

學生：之前經歷過的，基本的經驗是分析兩個函數在各自指定區域內的值域間的關系.

教師：那么我們不妨記函數f（x）在[-2，2]上的值域為Df，函數g（x）在[-2，2]上的值域為Dg，下一步應該如何處理？

學生：應該只要滿足Df？哿Dg.

教師：不錯，我們的判斷是正確的！但是為什么是這個結論呢？能分析得更詳細一點嗎？

學生：原題等價于，對于Df中的任意的函數值f（x1），在Dg中必定能找到一個值g（x2），滿足f（x1）=g（x2），也即Df？哿Dg.

教師：大家聽明白了嗎？分析得非常好！下面請大家將此題解答完整. （學生解答，教師巡視并作個別輔導）

解答：因為x∈（0，2]時， f（x）=2x-1為單調遞增函數，所以當x∈（0，2]時， f（x）=2x-1∈（0，3].

又因為f（x）是定義在[-2，2]上的奇函數，所以當x∈[-2，2]時， f（x）∈[-3，3]，即Df=[-3，3].

因為g（x）=x2-2x+m=（x-1）2+m-1，又x∈[-2，2]，

所以g（x）∈[m-1，m+8]，即Dg=[m-1，m+8].

因為對任意的x1∈[-2，2]，總存在x2∈[-2，2]使得f（x1）=g（x2），

所以m-1≤-3，m+8≥3？圯-5≤m≤-2.

教師：通過大家的努力，此問題得以順利解決. 但是解決這個問題并不是我們的目的，我們要以此問題為載體，通過對它的解決，掌握與此相關的數學知識和數學思想方法；通過對本問題的研究，進一步得到解決此類問題的一般性方法，將來面對此類問題，我們都能解決它們了.

教師：請同學們結合本題，嘗試歸納一個一般性的結論.

學生：（結論1）記函數f（x）在D1上的值域為Df，函數g（x）在D2上的值域為Dg，如果對任意的x1∈D1，總存在x2∈D2使得f（x1）=g（x2），則有Df？哿Dg.

教師：很好，我們得到了一個一般性的結論，那么我們能否對上題作適當的變化，形成新問題，嘗試解決并歸納出一般性的結論呢？我們學生可以分成提問組和解答組，提問組的同學將原問題進行改編，解答組的同學負責解答，解答完后提問組可以作點評，之后兩組協助歸納出一般性的結論.

學生自行分組，進入探究過程，發言踴躍，通過整理、歸納，得到了如下的變題：

已知函數f（x）是定義在[-2，2]上的奇函數，當x∈（0，2]時， f（x）=2x-1，函數g（x）=x2-2x+m，

變題1：對任意x1∈[-2，2]，總存在x2∈[-2，2]，使f（x1）≥g（x2），求實數m的取值范圍.

變題2：對任意x1∈[-2，2]，總存在x2∈[-2，2]，使f（x1）≤g（x2），求實數m的取值范圍.

變題3：存在x1∈[-2，2]，對任意x2∈[-2，2]，都有f（x1）≥g（x2），求實數m的取值范圍.

變題4：存在x1∈[-2，2]，對任意x2∈[-2，2]，都有f（x1）≤g（x2），求實數m的取值范圍.

變題5：對任意x1，x2∈[-2，2]，都有f（x1）≥g（x2），求實數m的取值范圍.

變題6：對任意x1，x2∈[-2，2]，都有f（x1）≤g（x2），求實數m的取值范圍.

變題7：存在x1，x2∈[-2，2]，使f（x1）≥g（x2），求實數m的取值范圍.

變題8：存在x1，x2∈[-2，2]，使f（x1）≤g（x2），求實數m的取值范圍.

師生通過對上述變題的一一解答，并作一般性的歸納，整理后摘錄如下：

記函數f（x）在D1上的值域為Df，函數g（x）在D2上的值域為Dg，

結論2：對任意x1∈D1，總存在x2∈D2，使f（x1）≥g（x2），則有f（x）min≥g（x）min.

結論3：對任意x1∈D1，總存在x2∈D2，使f（x1）≤g（x2），則有f（x）max≤g（x）max.

結論4：對任意x1∈D1，任意x2∈D2，都有f（x1）≥g（x2），則有f（x）min≥g（x）max.

結論5：對任意x1∈D1，任意x2∈D2，都有f（x1）≤g（x2），則有f（x）max≤g（x）min.

結論6：對任意x1∈（D1∩D2），都有f（x1）≥g（x1），則有（f（x）-g（x））min≥0.

結論7：對任意x1∈（D1∩D2），都有f（x1）≤g（x1），則有（f（x）-g（x））max≤0.

結論8：存在x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）=g（x2），則有Df∩Dg≠ .

結論9：存在x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）≥g（x2），則有f（x）max≥g（x）min.

結論10：存在x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）≤g（x2），則有f（x）min≤g（x）max.

結論11：存在x1∈D1，使得f（x1）=m，則有m∈Df.

結論12：存在x1∈D1，使得f（x1）≥m，則有m≤f（x）max.

結論13：存在x1∈D1，使得f（x1）≤m，則有m≥f（x）min.

以上結論都是在教師的啟發誘導下由學生群體自行歸納整理出來的，對學生來講本堂課收獲頗豐，在學生積極主動的參與過程中并沒有感到結論的突兀、學習的無味，相反學生的思維活躍、發言踴躍，學生感受到了數學的很多結論其實我們都可以自行探究得到，數學并沒有這么枯燥！

對教學的思考與感悟

教學中要重視問題意識的培養，汪秉彝教授說過：“數學教學要不斷喚起學生的好奇心、質疑、批判和探究的意識，恰當地引導學生提出問題，并以問題驅動教學. ”所以要重視學生對數學現象的解構或重組；要讓他們有充分自主的時間和空間，以顯現他們的獨創性，促進其創新意識的養成；在喚醒他們的問題意識以后，他們所進行的數學活動往往就是數學化和在數學內的求解，其中有探究精神的培養，也有雙基的體現，都應當由他們自主或協作完成. 不到他們“山窮水盡”之時，教師不可越俎代庖.

“問題意識”一定是學生自己產生的，而不是教師告知的. 教師所能做的事情就是提供一個合適的數學現象，以作為學生活動的起點. 因此，準確地理解什么是“數學現象”，準確地發現及向學生提供“數學現象”，是對教師的基本要求. 從目前“問題教學”和“情境教學”的大環境來看，教師已經有很好的基礎，但是也需要一些新思路. 因此，這也是向教師提出了一個非常高的要求.