輔助角公式的課堂教學(xué)處理與思考

趙衛(wèi)群

[摘 要] 公式教學(xué)中教師應(yīng)重視學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，關(guān)注學(xué)生的原有知識(shí)基礎(chǔ)和思維基礎(chǔ)，利用設(shè)計(jì)陷阱，經(jīng)歷“試誤”，發(fā)現(xiàn)“錯(cuò)誤”，小組討論等方式讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)探究的艱難過(guò)程. 最后加上適度的數(shù)學(xué)訓(xùn)練幫助學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)方法、規(guī)律的理解，達(dá)到增強(qiáng)記憶的目的. 至于教學(xué)實(shí)際中哪種方法更能減少學(xué)生的錯(cuò)誤，這還需要教師多比較、多思考、多實(shí)踐.

[關(guān)鍵詞] 輔助角公式；教學(xué)處理；靈活運(yùn)用

輔助角公式在三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求最值、周期、單調(diào)區(qū)間時(shí)，使用頻率比較高，因此要求學(xué)生熟練地掌握輔助角公式的運(yùn)用.對(duì)于形如y=asinx+bcosx的三角函數(shù)式，可變形為：asinx+bcosx= sin（x+φ）（*），其中φ由cosφ= ，sinφ= 來(lái)確定.通常稱(chēng)式子（*）為輔助角公式. 使用輔助角公式的難點(diǎn)主要是輔助角φ的大小確定，雖然公式中給出了φ的確定方法，但在實(shí)際運(yùn)用中學(xué)生極其容易犯錯(cuò). 更何況筆者所接觸的是因各種原因未能考上普高而選擇上職業(yè)高中的學(xué)生，他們的領(lǐng)悟能力、接受能力和記憶能力均稍遜一些. 根據(jù)江蘇省對(duì)口單招考綱要求，結(jié)合這些高中學(xué)生的實(shí)際情況，教學(xué)中教師要把握好度. 下面談?wù)劰P者對(duì)輔助角公式的教學(xué)處理與思考.

學(xué)生熟悉公式的來(lái)龍去脈

y=asinx+bcosx= ·sinx+ cosx，因?yàn)?+ =1，所以存在角φ，使得cosφ= ，sinφ= ，則y= （sinx·cosφ+cosx·sinφ）= sin（x+φ）. 教學(xué)中教師通過(guò)以上講述，使學(xué)生在認(rèn)知上能理解構(gòu)造角φ，目的是轉(zhuǎn)化為角x和角φ和的正弦，然后根據(jù)兩角和的正弦公式寫(xiě)成sin（x+φ）.

不管我們面對(duì)的學(xué)生能力層次如何，在公式教學(xué)過(guò)程中，公式的推導(dǎo)要舍得花時(shí)間. 一是強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)認(rèn)知過(guò)程的經(jīng)歷和體驗(yàn)，二是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)探究的一種數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)，三是進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的思維，提高學(xué)生的解題能力. 教學(xué)中不能過(guò)于形式化，更不必讓學(xué)生死記硬背公式.

教學(xué)處理方法與思考

處理方法一：設(shè)θ是銳角，得sinθ= ，cosθ= 的值，由此可求得銳角θ；再判斷點(diǎn)（a，b）的象限；最后根據(jù)φ=θ（點(diǎn)在第一象限），π-θ（點(diǎn)在第二象限），π+θ（點(diǎn)在第三象限），-θ（點(diǎn)在第四象限）（*），求得φ的值.

這種方法的優(yōu)點(diǎn)是化簡(jiǎn)后的表達(dá)式中正弦型函數(shù)的系數(shù)永遠(yuǎn)是正數(shù)，且整體結(jié)構(gòu)不變，主要是括號(hào)內(nèi)輔助角φ的不同. 這種做法對(duì)后續(xù)求正弦型函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)有利. 但在教學(xué)中要提醒學(xué)生注意sinx的系數(shù)是a，cosx的系數(shù)是b，兩者不能混淆. 缺點(diǎn)是由于中職學(xué)生的自身原因記不住上述求φ的規(guī)律，難點(diǎn)是無(wú)法理解明明是求φ，為什么要先求θ.在此說(shuō)不清道理可以不說(shuō)，以后再說(shuō). 就像小學(xué)生背古詩(shī)詞，他未必懂，但隨著閱歷的增長(zhǎng)，他對(duì)詩(shī)詞的理解會(huì)越來(lái)越深刻.也就是說(shuō)用這種方法處理時(shí)讓學(xué)生感覺(jué)到求出θ再求φ很方便.

處理方法二：設(shè)θ是銳角，得tanθ= 的值，由此可求得θ；再判斷點(diǎn)（a，b）的象限；最后根據(jù)規(guī)律（*），求得φ的值.

這種解法與解法一基本相似，主要不同在于求角θ時(shí)，用的是正切函數(shù). 此時(shí)學(xué)生只要借tan = ，tan =1，tan = ，即可得角θ，且不容易混淆 與 . 雖然在解法上只做了稍稍改變，但卻大大減少了學(xué)生的錯(cuò)誤. 當(dāng)然難點(diǎn)還是需要學(xué)生記憶tanθ= 及根據(jù)象限求φ的方法規(guī)律.

處理方法三：若a，b同正，則y=asinx+bcosx= sin（x+φ）；若a，b同負(fù)，則y=asinx+bcosx=- sin（x+φ）；若a正，b負(fù)，y=asinx+bcosx= sin（x-φ）；若a負(fù)，b正，y=asinx+bcosx=- ·sin（x-φ）； 前的正負(fù)號(hào)與系數(shù)a的性質(zhì)符號(hào)是一致的，其中由tanφ= 得銳角φ. 如 cosx-sinx=-sinx+ ·cosx=-（sinx- cosx）=-2sin（x-φ）. 因?yàn)閠anφ= ，所以銳角φ= ，因此 cosx-sinx=-2sinx- . 根據(jù)此法化簡(jiǎn)-sinx-cosx=-（sinx+cosx）=- sinx+ .

這種解法的優(yōu)點(diǎn)是求得輔助角φ很簡(jiǎn)單，只要根據(jù)tan = ，tan =1，tan = ，即可求得銳角φ，無(wú)須判斷點(diǎn)（a，b）象限，也就不必記憶規(guī)律（*）了. 從而大大降低了輔助角φ的計(jì)算錯(cuò)誤. 但要注意的是提醒學(xué)生要注意兩個(gè)符號(hào)，一是sin（x±φ）的系數(shù)可正可負(fù)，實(shí)際操作時(shí)把含sinx的這部分寫(xiě)在前面，若sinx的前面是負(fù)號(hào)，則添一個(gè)含負(fù)號(hào)的括號(hào)；若是正號(hào)，則無(wú)須添括號(hào). 二是括號(hào)內(nèi)的符號(hào)可加可減，與添括號(hào)后cosx前的符號(hào)一致. 這種做法雖然正確率高，但過(guò)于程式化，程式化后容易形成思維定式、套路.

處理方法四：設(shè)φ是銳角，asinx+bcosx= sinx+ cosx，或者asinx-bcosx= sinx- cosx，目的使之轉(zhuǎn)化為兩角和、差的正弦或余弦，即 sin（x±φ）， sin（φ±x）或 cos（x±φ）， cos（φ±x）.

這種解法較靈活，無(wú)須死記硬背規(guī)律，主要是熟練掌握兩角和差的正弦公式sin（α±β）=sinαcosβ+cosαsinβ和余弦公式cos（α±β）=cosαcosβsinαsinβ，記住幾個(gè)簡(jiǎn)單的特殊的三角函數(shù)值即可. 如cosx-sinx= cosx- sinx= sin cosx-cos sinx= sin -x，cosx-sinx= cosx- ·sinx= cos cosx-sin sinx= cos +x. 學(xué)生容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是將兩角的順序搞錯(cuò)，錯(cuò)誤的化簡(jiǎn)為 sinx- . 減少這種錯(cuò)誤的方法是建議學(xué)生注重轉(zhuǎn)化過(guò)程，不要漏步驟.這種解法大大加深了學(xué)生對(duì)公式轉(zhuǎn)化的理解，鞏固了已有知識(shí)，提高解決問(wèn)題的能力，不知不覺(jué)中滲透了數(shù)學(xué)思想，摒棄了那種無(wú)意義的機(jī)械訓(xùn)練.

輔助角的教學(xué)處理辦法很多，以上四種方法比較適合中職對(duì)口單招教學(xué). 公式教學(xué)中教師應(yīng)重視學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，關(guān)注學(xué)生的原有知識(shí)基礎(chǔ)和思維基礎(chǔ)，利用設(shè)計(jì)陷阱，經(jīng)歷“試誤”，發(fā)現(xiàn)“錯(cuò)誤”，小組討論等方式讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)探究的艱難過(guò)程. 最后加上適度的數(shù)學(xué)訓(xùn)練幫助學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)方法、規(guī)律的理解，達(dá)到增強(qiáng)記憶的目的. 至于教學(xué)實(shí)際中究竟哪種更適合學(xué)生，哪種方法更能減少學(xué)生的錯(cuò)誤，這還需要教師多比較、多思考、多實(shí)踐. 在此引用陳光立老師的一句話作為結(jié)束語(yǔ)：“教之道在于度，學(xué)之道在于悟.”endprint