知其然還要知其所以然
——“三角形的內角和”教學實踐與思考

文︳王 飛

知其然還要知其所以然
——“三角形的內角和”教學實踐與思考

文︳王 飛

前段時間我上了一次三角形的內角和的教研課。在試教過程中，我發現很多學生已經知道三角形的內角和是180度這一結論，并且對這一結論深信不疑。在用量一量的方法驗證的過程中，別的學生在匯報測量數據時，其他學生就會插嘴，報出最后一個角的度數，問他沒有測量怎么知道別人測量的度數呢？他答道：“我是算出來的，因為三角形的內角和是180度。”還有的學生只是為了迎合結論，在測量的過程中會反復調整數據，將測量的結果湊成180度，導致課堂上的探究活動流于形式，達不到應有的教學目的。學生的表現讓我反思：如果學生已經知道這個結論，我們的教學該如何設計，才能激發學生的學習興趣，從而引導他們由質疑走向真探究，切實發展思維呢？

我和數學組的同事一起討論，形成了如下的教學對策：準確把握學生的學習起點，通過數學家的探索精神激發學生的學習興趣，引導學生進行一次科學的驗證之旅，讓學生的思維經歷由直觀到抽象、由淺入深的過程，更好地滿足學生“數學家”的科學探索愿望，感受數學的魅力。

教學片段

師：你們知道三角形的內角和是多少度嗎？

生（齊答）：180度。

師：你們都認為是180度，（所有學生點頭）現在大家都知道了這個結論，是不是這節課我們就不用上了，老師直接給點題目讓你們做就可以？（大部分學生點頭，有學生提出測量可能會有誤差，不準確）是的，老師懷疑這個結論，那我們這節課還要干點什么？

生：那就要想辦法驗證這個結論，說服老師。

師：這個孩子具有數學家的天賦。對于這樣一個結論，有的同學愿意相信結論再做些習題，有的同學有數學家的天賦，為什么呢？因為他還想知道來歷，用科學的方法驗證三角形的內角和到底是不是180度，設法讓老師相信這個結論。今天讓我們當回一數學家，大家有沒有興趣？

學生紛紛點頭，然后開始想點子、找辦法驗證這個結論，整節課就這樣進入到驗證結論的重心上來。

學生討論后，分享自己的想法，得到以下幾種思路：量一量、折拼、剪拼等。教師將學生分成幾個學習小組，各選一種思路進行活動，提出活動建議：（1）選擇合適的材料；（2）做好操作的準備：將要操作的三角形的內角標注好序號；（3）在測量過程中一定要實事求是，不要調整數據；（4）做好匯報準備。

量一量的方法。生1匯報：記錄好組內4位同學測量后得到的數據，分別是 179°、181°、180°、180°，得出結論：三角形的內角和接近180度。教師表揚學生具備數學家實事求是的品質，強調這個結論對我們研究三角形的內角和非常有價值。

剪拼的方法。生2上臺進行剪拼操作：先將3個內角標注好，再剪下來，拿出直尺，將3個內角沿直尺邊進行拼接，最后3個內角拼在一起與直尺邊重合。學生自信地說：“通過這樣的操作，我們得到的結論是三角形的內角和是180度。”

折拼的方法。生3通過找三角形邊的中點，將三角形的3個內角折在一起，近似地拼成一個平角。

生4：我這兒有一種不同的方法：用正方形沿對角線對折，兩個部分完全重合，而且是兩個完全一樣的等腰直角三角形。一個等腰直角三角形的內角和是正方形內角和的一半，正方形的內角和是90°×4=360°,所以一個等腰直角三角形內角和是正方形內角和的一半，也就是180度。

師：這位孩子的發現真了不起，能夠從不同的方面找到解決問題的方法，盡管在邏輯上還存在不足，但是看起來也有道理，通過我們的觀察和直覺能夠說明等腰直角三角形的內角和是180度。那我們怎么知道一般直角三角形的內角和呢？現在你們有辦法了嗎？

學生紛紛點頭，拿出學具袋中的學具進行探索。很多學生拿到長方形在思考，尋找驗證方法。

生5：一般直角三角形可以通過長方形得到，沿長方形對角線剪開就變成了兩個直角三角形，我發現對應的角能夠完全重合，是兩個完全一樣的直角三角形。長方形的內角和是360度，沿對角線剪開后，長方形就被平均分成了兩半，所以一個直角三角形的內角和就是180度。（教師用課件輔助說明這一驗證過程，如圖所示）

師：在驗證直角三角形的內角和是180度的基礎上，你能用它來驗證其他三角形的內角和是180度嗎？

生6：老師，任何一個銳角三角形都可以沿高剪開，分為兩個直角三角形。兩個直角三角形的和是180度+180度=360度，而其中有兩個直角拼在一起成了一條直線，可以看作是一個平角，所以原來銳角三角形的3個內角的和就是360度-180度=180度。（同樣的道理可以說明鈍角三角形內角和也是180度）

師：你們能化未知為已知，用不同的方法驗證三角形的內角和是180度，真會想辦法。盡管有些方法還有不足，但你們的大膽思考、勇于表達是數學家最可貴的品質，我們進入中學以后，還會有更加嚴謹科學的方法來驗證它，大家敬請期待吧！

課后反思：三角形的內角和是多少？大部分學生已經知道這一知識點，所以回答起來很容易，但是只知其然而不知其所以然，因此本節課的重點是引導學生知其所以然，用科學的方法驗證三角形的內角和是180度，經歷一個“相信—質疑—確信”的探究過程。課堂上，學生的操作方法并不單一、測量也不是在湊數據，而是自然而然地出現了操作驗證環節中的誤差。這一切源于給學生提供了探究的機會，讓學生在獨立思考和探究的基礎上，真正當了一回數學家，獨立完成知識的建構。學生的方法是多種多樣的，學生的思考也是多方位的。學生從已有的知識經驗出發，采用量、剪、拼、折的方法進行驗證，這些都是符合學生現階段認知水平的。在測量和剪拼過程中會有誤差，學生難以獲得“三角形內角和是180度”的精確感知。正是因為誤差的存在，有學生想到了用正方形分成兩個等腰直角三角形，根據正方形的內角和是360度，推導出等腰直角三角形的內角和是180度。還有學生想到把長方形沿對角線分成兩個直角三角形，通過操作直觀感知對應的角完全重合，從而得出其中一個直角三角形的內角和是180度的結論，并由此推導出銳角三角形、鈍角三角形的內角和。盡管驗證過程存在不足，利用長方形、正方形沿對角線剪開，得到的兩個三角形完全重合，是學生在操作層面得到的“看起來是這樣”的現實，是基于這一現實基礎上的驗證與說理。嚴格地說，這是在已經承認三角形的內角和是180度的基礎上進行驗證的，從邏輯上來講是錯誤的。教師深知這一階段學生思維的特點，沒有直接指出學生具體的邏輯錯誤（實際上，學生也糾纏不清這中間的邏輯關系與前提），而是對學生這種直覺思維、大膽表達予以肯定和保護，有利于學生積累數學活動經驗。最后教師指出在中學里將有一種更科學嚴謹的邏輯推理方法驗證三角形的內角和是180度，為數學的科學與嚴謹指明了方向。

（作者單位：湘潭市教育科學研究院）