最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)

文︳張新春

最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)

文︳張新春

1.最大公因數(shù)

若d是a的因數(shù)，也是b的因數(shù)，我們就稱d是a，b的公因數(shù)。a，b的公因數(shù)中最大的一個，叫做 a，b 的最大公因數(shù)。記為（a，b）或 GCD（a，b）。

我們可以把最大公因數(shù)的定義寫得正式一點。

d 是 a，b 的最大公因數(shù)，當且僅當：（1）d|a，d|b；（2）若 c|a，c|b，則 c≤d。

有幾個問題需要討論一下：（1）任意的兩個數(shù)a，b都有公因數(shù)嗎？（2）a，b的公因數(shù)中一定有一個最大的嗎？

對于問題（1），由于1是任何數(shù)的因數(shù)，所以對任意兩個數(shù)a，b，1都是它們的公因數(shù)。從而任意的兩個數(shù)a，b都有公因數(shù)。對于問題（2），若a，b不同時為0，當a是正數(shù)時，a的因數(shù)最大者為a，當a是負數(shù)時，a的因數(shù)最大者為-a；對于b也可以作類似的討論。也就是說，對任意不同時為0的a，b，它們的公因數(shù)總是小于 a，-a，b，-b 這四個數(shù)中的最大者，從而總是有最大公因數(shù)。

需要注意的是，a，b可以任意為正為負，但不能同時為 0，即（0，0）是沒有意義的。

若兩個數(shù)的最大公因數(shù)為1，我們稱這兩個數(shù)為互質(zhì)數(shù)，或稱這兩個數(shù)互質(zhì)（或互素）。

在此，我們重復(fù)兩個結(jié)論：

（1）a，b的最大公因數(shù)是最小的形如ma+nb的正整數(shù)。

（2）a，b 的任意公因數(shù)都是 a，b 的最大公因數(shù)的因數(shù)。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，找兩個數(shù)的最大公因數(shù)通常都是用列舉的辦法。即分別找出兩個數(shù)的因數(shù)，再找出公共的因數(shù)，然后找出最大的一個。這種方法盡管效率不高，卻是一種最樸素的方法，應(yīng)用范圍也最廣，蘊含著一些基本的數(shù)學(xué)思想方法（列舉、集合的思想等）。我們需要正確認識其價值。當然，在此基礎(chǔ)上，若能讓學(xué)生學(xué)會一些比較高效的方法也是有價值的。

2.最小公倍數(shù)

兩個整數(shù)a，b的最小公倍數(shù)，是指能同時被a，b整除的數(shù)中的最小正整數(shù)。通常記為[a，b]。而能同時被a，b整除的數(shù)也叫a，b的公倍數(shù)。

有一個結(jié)論：a，b的任意公倍數(shù)都是其最小公倍數(shù)的倍數(shù)。比如15和10的最小公倍數(shù)是30，那么15和10的任何公倍數(shù)都應(yīng)該是30的倍數(shù)。這一點不難檢驗。問題是如何在一般情況下證明這個結(jié)論？我們只需要證明a，b的任意正的公倍數(shù)都是其最小公倍數(shù)的倍數(shù)即可。為此，我們設(shè)m是a，b的最小公倍數(shù)而N是a，b的任意正的公倍數(shù)。我們要證明N是m的倍數(shù)。事實上，由于m是a，b的最小公倍數(shù)而N是a，b的正的公倍數(shù)，因此，N不小于m，從而N-m應(yīng)該為a，b的公倍數(shù)（一個數(shù)的兩個倍數(shù)之差仍為這個數(shù)的倍數(shù)）。且N-m不小于0。若考慮N-m，N-2m，N-3m…以上數(shù)列終于會從某一個開始小于0。

設(shè)N-xm是最后一個大于0的。這就是說N-xm大于0，而N-xm再減去一個m就不大于0了（注意，不一定是小于0）。于是N-xm不大于m，但m是a，b的最小公倍數(shù)，從而N-xm不可能小于m，于是只有N-xm=m。從而N是m的倍數(shù)。

最小公倍數(shù)的求法可由下列結(jié)論轉(zhuǎn)化為最大公因數(shù)的求法。

兩個整數(shù)a，b的最小公倍數(shù)[a，b]和最大公因數(shù)（a，b）滿足[a，b]=（a，b）=a×b，即兩個數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。

3.線性不定方程

我們知道，兩個整數(shù)a，b的最大公因數(shù)，就是所有形如ax+by的正整數(shù)中最小的一個。并且，所有形如ax+by的數(shù)，都是a，b的最大公因數(shù)的倍數(shù)。比如a=78，b=30，則 a，b的最大公因數(shù)為 6。由歐幾里得算法，可以找到這樣的x，y，使得78x+30y=6。

事實上，78=30×2+18，30=18×1+12，18=12×1+6，12=6×2+0。由此可以得到 6=18-12×1。我們需要把其中的18和12用含有78和30的式子表示，這樣就可以把6寫成形如78x+30y的形式。而由上面的式子可知18=78-30×2，12=30-18=30-（78-30×2）=30×3-78。于是，6=18-12×1=78-30×2-（30×3-78）=78×2-30×5=78×2+30×（-5）。

經(jīng)過上述過程，我們實際上求得了方程78x+30y=6的一組整數(shù)解為

像78x+30y=6這樣未知數(shù)個數(shù)超過一個的方程叫不定方程。這個不定方程也叫線性不定方程，線性是指方程的未知數(shù)的次數(shù)為1，之所以說是“線性”，很重要的原因是像78x+30y=6這樣的方程，在幾何上就表示一條直線。不定方程通常有很多解，我們往往關(guān)心滿足一定條件的解，比如整數(shù)解，特別是正整數(shù)解。

方程78x+30y=6即13x+5y=1。此時，13和5是互質(zhì)的。按上面的方法，我們可以找到方程ax+by=1（a，b 互質(zhì)）的一組解，若設(shè)是方程ax+by=1的一組解（通常叫特解），則該方程的所有解都可以表示成的形式，其中t取所有的整數(shù)（這種形式的解就叫通解）。

我們還可以證明，方程ax+by=1的所有整數(shù)解都可以寫成這種形式。

于是，求不定方程ax+by=1（a，b互質(zhì)）整數(shù)解的問題就得到完全的解決。

考慮一般的問題，形如ax+by=n（n為整數(shù)，a，b互質(zhì)）的整數(shù)解如何求呢？只要求出ax+by=1（a，b互質(zhì)）的解，再乘n就可以了。

考慮更一般的問題，若不定方程ax+by=n中的a，b不互質(zhì)呢？我們不難想到，若這個方程有整數(shù)解，n一定能被a，b的最大公因數(shù)整除（事實上，比如方程78x+30y=9就不可能有整數(shù)解，因為對任意的整數(shù)x，y，78x+30y都是6的倍數(shù)，而不會是9），此時，只要用a，b的最大公因數(shù)去除這個方程的兩邊，即可把這個方程轉(zhuǎn)化為上述研究過的方程。

于是，對于任意有整數(shù)解的不定方程，我們已經(jīng)得到了求其所有整數(shù)解的方法。

在以上討論不定方程的過程中，我們先研究特殊情況，再設(shè)法把一般情況轉(zhuǎn)化為特殊情況。這是數(shù)學(xué)研究常用的方法，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中也應(yīng)該適當?shù)貪B透這種方法。