化繁為簡不走尋常路
——例談解析幾何中轉化與化歸思想的巧用

薛 梅

(江蘇省如皋市第二中學，江蘇 如皋 226575)

化繁為簡不走尋常路
——例談解析幾何中轉化與化歸思想的巧用

薛 梅

(江蘇省如皋市第二中學，江蘇 如皋 226575)

解析幾何是高考的重點、熱點和難點，因綜合性強、計算量大而讓很多考生望而生畏.本文將轉化與化歸思想巧妙融入解析幾何的解題中，提出三種方法，讓學生能夠化繁為簡不走尋常路，巧解題，少用時，多拿分.

轉化與化歸思想；高中數學；解析幾何

解析幾何是高中數學的重點，是高考命題的熱點，同時也是學生解題的難點.筆者結合平時教學，總結出轉化與化歸思想在解析幾何解題中的三種常用方法，讓學生解題時能化繁為簡不走尋常路.

一、注重數形變換，巧用“數”與“形”的轉化與化歸

我們研究解析幾何時常用代數方法來處理，但會遇到計算繁雜、費時耗力、容易出錯、難得結果等情況，這時我們引入轉化與化歸思想，進行“數”與“形”的有機轉化，巧妙地將解析幾何問題轉化成平面幾何問題去處理，就能使解題變得簡單上手.恰如著名數學家華羅庚所講“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休”.

例1Q為圓x2+y2=1上任意一點，已知兩個定點F1(-2,0)、F2(2，0)，F1關于Q的對稱點是M，線段MF1中垂線與MF2相交于P點，求P點軌跡.

解析如果假設Q點坐標，代入圓方程進行計算則比較麻煩，如果運用數形結合思想，把問題轉化為幾何問題，此題就變得容易解決.

連接OQ,O是F1F2中點,O是MF1中點,所以OQ∥MF2，MF2=2即|PM-PF2|=2,因為P為線段MF1中垂線上一點，所以PF1=PM,所以|PF1-PF2|=2，又因為F1,F2為兩定點，且|F1F2|=4>2,由雙曲線定義易知P點軌跡是雙曲線.

二、注重角色變換，巧用“動點”與“定點”的轉化與化歸

“動靜結合”是道家研習武學的至高境界之一，而在高中數學解題中也常會用到一種與之類似的思想方法，叫做“動定結合”，通過同一對象在動與定角色間的不斷轉化，巧妙破解難題.就像在解析幾何中，動點和定點往往不是固定而是相對的，對于同一對象可根據解題需要變換動點與定點“角色”，特別是在處理含有多個動點問題時，可先將一個動點視為定點，得出相關結論后，再考慮其是動點的問題，這樣通過動點與定點的相互轉化，就能使問題找到解決辦法.

三、注重方程變換，巧用“普通方程”與“參數方程”的轉化與化歸

近年來，求解極值和取值范圍問題是高考解析幾何中的常見題型，這類題目知識面廣、綜合性強、新穎度高、難度也較大，因能很好地考查學生的數學思想和數學思維，一直受到命題專家的青睞.考生在處理這類題目時，如果抓不住關鍵而用普通方程就題解題，便會落入復雜計算的“陷阱”不能輕易“脫身”.其實，解答這類題目，我們應采用轉化與化歸思想，對題干進行適當的加工、改造和變化，使之變得簡潔、明了和熟悉，將運算復雜的普通方程轉化成便于化簡的參數方程，從而省時省力事半功倍.

(1)求m的值和橢圓方程；

美國著名教育和心理學家布盧姆指出：數學轉化與化歸思想是“把問題元素從一種形式向另一種形式轉化的能力”.因此，高中數學教師在平時的教學中要注重滲透轉化與化歸思想，有意培養轉化與化歸思維，著力引導轉化與化歸解題，讓學生通過巧妙的變換，撥云見日，化繁為簡不走尋常路，找到答題的“終南捷徑”，從而使轉化與化歸思想成為解析幾何的破題之法、解題之術、拿分之招.

[1]趙雪妍.向量在解析幾何中的應用[J].中學生數理化(高中版·學研版)，2011(05).

[2]袁輝.運用化歸思想，培養有效思維[J].數理化學習(高中版)，2011(09).

G632

A

1008-0333(2017)22-0044-02

2017-06-01

薛梅(1981.11-)，女,江蘇省南通市，大學本科，中學一級，從事數學學科教學與研究.

責任編輯：楊惠民]