“分參”？“不分參”？
——導數研究函數過程中的思考

潘志琴

(溧陽市戴埠高級中學,江蘇 常州 213300)

“分參”？“不分參”？
——導數研究函數過程中的思考

潘志琴

(溧陽市戴埠高級中學,江蘇 常州 213300)

“教無定法，學無止境”.在高中階段導數的學習中，在參數范圍的探究過程中，對“分參”與“不分參”的選擇，教師的教與學生的學都很無奈.學生在無奈地選用導數研究含參函數最值過程中的苦與低效，面對這種情況，教師可以考慮引導學生從更多的實例中汲取經驗.

參數分離；構建函數；分類討論

導數是研究函數問題的工具，對于導數部分的復習主要放在利用導數研究函數的性質等內容上，特別是含參數問題是近些年來高考的重點和熱點內容.此類問題通常涉及求最值和恒成立條件，要求學生在求解中重視分類討論、數形結合、分離參數等基本思想方法的運用.

在這些思想方法中，若能先進行分離參數，后對函數進行無參操作，一般則能簡化運算.例如：已知函數f(x)=alnx+x2(a為常數)，若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立，則實數a的取值范圍是 .

解法1 ?x∈[1,e],使得alnx+x2≤(a+2)x，

即?x∈[1,e],使得a(x-lnx)≥x2-2x.

易證：x∈[1,e]時，x-lnx>0.

∴φ(x)≥φ(2)=4-2ln2>0.∴φ(x)在[1,e]上均大于0,∴h′(x)在[1,e]上恒大于等于0，∴h(x)在[1,e]上單調遞增.

∴hmin=h(1)=-1，∴a≥-1.

解法2 不分參，分三類進行討論.(過程略)

對于以上例題，還可以有兩種解法進行比較：解法一可以避免分類討論，相比解法二比較簡潔；解法二給出了求函數最值的基本方法，由于是含有參數的函數求最值，所以必須分類討論.在近些年的導數研究函數的過程中，在“分參”與“不分參”的問題上，有一些問題可能根本沒有選擇方法的機會，師生必須面臨帶參數求解最值.下面我們用具體例題來體會這種“無奈”.

2017年蘇錫常一模第19題：已知函數f(x)=(x+1)lnx-ax+a(a為正實數，且為常數).

(1)若函數f(x)在區間(0,+)上單調遞增，求實數a的取值范圍；

(2)若不等式(x-1)f(x)≥0恒成立，求實數a的取值范圍.

分析(2)(x-1)f(x)≥0恒成立

?①x=1時，易證；

②x>1時，(x+1)lnx-ax+a≥0且x∈(0,1)時，(x+1)lnx-ax+a≤0.

解∵?x>0,(x-1)f(x)≥0，

∴①x=1時，a>0時均成立.

②x>1時，(x+1)lnx-ax+a≥0.

∴g(x)在(1,+)上單調遞增,∴g(x)>g(1)=2.

當a∈(0,2]時，f′(x)恒大于0，∴f(x)在(1,+)上單調遞增,∴f(x)>f(1)=0.

當a>2時，?x0∈(1,+),使得f′(x0)=0.列表：

x(1,x0)x0(x0,+￥)f'(x)-0+f(x)單調減極小值單調增

∵f(1)=0， ∴當x∈(1,x0)時，f(x)<0.

③0

即證：?x∈(0,1),(x+1)lnx-ax+a≤0.

∴f′(x)>f′(1)=2-a>0.

∴f(x)在(0,1)上單調遞增，

∴f(x)

因此，0

以上兩個例子之所以在貌似還可以進行“分參”的情況下依然直接研究帶參數函數的最值，是因為真正分參時無法進行下去.

“分參”一般是需要條件的：①參數a可以方便地“分離”，達到用含“x”的不含參函數表示；②借助新函數的單調性可以得到所需要的最值.

在高中教學的實際過程中，筆者深切體會到學生在無奈地選用導數研究含參函數最值過程中的苦與低效，面對這種情況，教師可以考慮引導學生從更多的實例中汲取經驗.

美國數學家波利亞說過：“好問題同某種蘑菇相似，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個.”作為普通的高中教師，真正有助于學生的教學應該是基于學生，又能讓學生在此基礎上有提升的教學.讓我們做個教育的有心人，引導學生在這個“蘑菇”的附近去親近一堆“蘑菇”，拋開無奈，可以“分參“就分參，不可以”分參“就”“不分參.

[1]吳文前.高等數學與中學數學教學的銜接[J].教育與教學研究，2010(10).

[2]俞求是.高中新課標函數與微積分有關內容的處理研究[J].課程·教材·教法，2010(09).

[3]匡武俊.高中微積分教學策略[J].中國教育技術裝備，2010(08).

G632

A

1008-0333(2017)22-0002-02

2017-06-01

潘志琴(1982.10-)，女，漢族，中學一級教師，大學本科，從事高中數學解題方法與策略研究.

責任編輯：楊惠民]