三角函數求值問題的教學“糾錯”實錄

陳建邦 侯 軍

(1.云南省石屏縣第一中學，云南 662200；2.云南省紅河州石屏高級中學，云南 662200)

三角函數求值問題的教學“糾錯”實錄

陳建邦1侯 軍2

(1.云南省石屏縣第一中學，云南 662200；2.云南省紅河州石屏高級中學，云南 662200)

三角函數是高考的熱門考點，在高中數學教材中占有重要的地位.教學中，我們發現學生在解三角函數問題時，經常出現漏解、增解、錯解的現象，其根本原因是對題設條件中的隱含條件挖掘不夠.本文以此為出發點，展示教師如何引導學生自主挖掘三角函數題目中的隱含條件，掌握更多的解題思想，進而達到提高學生數學解題能力的目的.

錯解；三角函數求值；隱含條件

一、教材分析

三角函數與解三角形等知識在新課標人教A版的教材的必修四第一、三章，必修五第一章.從課程的設置和安排上就可以看出三角函數的重要性，必修一用集合的觀點來定義函數，后續學習了函數的性質，但是沒有具體的函數模型來認識函數的性質.學習了冪函數、指數函數、對數函數這些具體的函數之后，學生對定義域、值域、單調性有了深刻的認識，通過對三角函數的學習，進一步深化學生對函數的理解，它不僅體現了函數的通性，也涉及到了諸如整體代換、數形結合、分類討論等基本數學思想.這也無形中確立了三角函數在高中數學教學中的重要地位.

二、問題提出

在涉及三角函數求值問題時，學生普遍有兩大問題，第一，公式記不住或者記憶混淆.第二，不能很好地判斷或分析角的范圍.對于第一個問題普遍是學生懶惰造成的，第二個問題確實是個難點，也是對教師的挑戰.我們知道，三角函數求值問題類型主要有三類：

(1)“給角求值”問題：主要是公式的應用.

(2)“給值求值”問題：解題的關鍵在于變角，注意角的拆分.

(3)“給值求角”問題：實質上是轉化為“給值求值”問題，關鍵也是變角，把所求角用含已知的式子表示，由所得的函數值結合該函數的單調區間求得角.但是解三角函數問題，不管用什么方法，都要首先明確角的范圍以及角所在的象限.

三、問題探究

1.錯解展示

學生A的解答過程是這樣的：

cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB.

2.正解解析

方法三(學生小組討論后的解答)由△ABC中大角對大邊以及正弦定理可以得到

若A>B?sinA>sinB，應用這個關系可以判定該題的sinA

易得A為銳角，很容易得正確答案.

還有沒有其他解答方法呢？(教室安靜)

教師補充解答：

方法四∵0

cosA>cos(π-B)?cosA+cosB>0.

我們可以得到這樣的結論：在△ABC中，cosA+cosB>0.

學生出現錯解的主要原因是他們在解題時沒有注意角的范圍.故教師在進行這部分內容的教學時應著重培養學生的“重視角的范圍”的解題意識.

學生甲的解答：

教師給出解答：

看來答案只有一個，那這是為什么呢？學生的方法怎么改進才能正確呢？經教師引導，學生仔細思考后，部分同學的回答是這樣的：

∵sin2θ>0,cos2θ<0，∴2θ是第二象限的角，則θ是第一、三象限的角，所以tanθ>0所以tanθ=2.這道題讓學生深刻地感受到挖掘隱含條件明確角的范圍對三角函數值的影響.

學生乙的解答是這樣的：

正確的解答如下：

四、反思總結

數學解題要注意觀察、分析問題的數學表征，然而許多學生在觀察問題時，往往把注意力集中在顯性條件上，只要求解符合思維邏輯，就盲目地下結論.所謂差之毫厘謬以千里.挖掘題目中的隱含條件，既是數學解題的一項基本功，也是培養學生的思維品質的重要手段.建構主義的學習理論告訴我們“學習過程不是學習者被動地接受知識，而是積極主動地建構知識的過程”.在課堂教學中，教師遇到學生的錯解不妨“等一等”，給學生充分的思考時間，讓學生通過集體討論、自主探究一點點地發現問題所在，教師再啟發誘導，給出完美的答案，這才更符合學生的認知規律.

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]人民教育出版社等.普通高中課程標準試驗教科書(必修)數學4(A版)[M].北京：人民教育出版社，2014.

G632

A

1008-0333(2017)22-0022-02

陳建邦，中學一級,石屏縣第一中學，主要從事高中數學教學和初等數學研究工作.侯軍，中學一級，石屏高級中學，主要從事高中數學教學和初等數學研究工作.

責任編輯：楊惠民]