正難則反思想在高中數學解題中的應用

孫 碩

(江蘇省射陽縣第二中學，江蘇 鹽城 224300)

正難則反思想在高中數學解題中的應用

孫 碩

(江蘇省射陽縣第二中學，江蘇 鹽城 224300)

古有孫子兵法中的欲擒故縱，現有數學求解中的正難則反，這兩者有著異曲同工之妙.縱觀高中數學知識點，正難則反思想涵蓋以下幾個知識點：(1)集合求解中的補集思想；(2)概率計算中的對立事件；(3)數學證明中的反證法思想.在本文中，我們將結合實際習題，對正難則反思想在高中數學解題中的應用進行討論.

高中數學；正難則反；數學思想

一、集合問題中的正難則反

集合問題考查的是學生的邏輯思維能力，需要學生對需要計算的集合模型具有清晰的思路.對于某些集合問題，從正面求解往往極其復雜，思路不明朗，需要考慮很多影響因素，且極容易出錯.此時，我們不妨使用補集的思想，通過補集反演出欲求的結論，實現簡化求解的目標.

例1 已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0}，集合B={x|x<0}，若是A∩B≠?是假命題，試求m的取值范圍.

思路分析由A∩B≠?可知，集合A中至少有一個正根，由于存在x與m兩個未知數，若是細分較為繁瑣.此時，不妨利用正難則反的思想，利用原命題補集進行求解，即是關系式A∩B=?，則集合A只有無根和有兩個非負根這兩種情況，較為容易分析.

二、對立事件中的正難則反

在事件判斷時，若事件A成立時存在多種情況，難以進行分析計算.此時，可以嘗試利用其對立事件進行判斷.尤其是碰到至多、至少、唯一、無限等詞眼時，需要機智想到正難則反思想在對立事件中的運用.如果正向判斷存在多種可能時，即可從其對立事件出發，轉換一下思維角度，從提問或設問的對立事件入手.值得注意的是，在給出最終結論時，必須注意將原事件與對立事件進行轉換，切忌功虧一簣.

例2 已知事件A：關于x的方程x2+4ax-4a+3=0、x2+(a-1)x+a2=0、x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實數根，若事件A成立，求實數a的取值范圍.

思路分析將上述例題中至少有一個方程有實數根的命題視為原命題，則從原命題角度出發，上述三個方程至少存在一個方程存在實數根的情況存在多種可能性，幾乎難以一一分析.此時，我們可以利用正難則反思想，從其對立事件考慮，即上述方程均無實數根，再求實數a的取值范圍.

三、反證法中的正難則反

根據正難則反的原理，當從正向求證過于困難時，或者正向求證存在多種討論情況時，我們即可從反證中尋求思路突破.反證法不僅是運用在幾何知識中，在代數證明中也較為常見.如能運用得當，對簡化求解過程、提高求解準確率作用顯著.

思路分析本題求證存在無窮多項為無理數，若是從正向求證，我們難以一一羅列出所有的無理數.且就算可以描述無理數，也必然需要大量的文字描述，違背了數學訓練的初衷.對此，我們不妨從反證法的角度，假設數列{an}的項都是有理數，并推出矛盾即可得證.

總之，正難則反的思想是一種極其重要的數學思想，是一種出奇制勝的秘密武器.在高中數學解題中，正難則反思想有著廣泛的運用，在函數、方程、數列、幾何等知識點中均有其身影.本文僅僅從三個極小的訓練題對正難則反思想進行討論，欲將其滲透到學生解題思維中，還需要一線教師更多的努力.

[1]周慶東.正難則反——談逆向思維帶來的啟迪[J].高中數理化，2017(Z2).

[2]張金華.正難則反——巧用補集思想解題[J].高中數理化，2007(03).

G632

A

1008-0333(2017)22-0032-02

孫碩(1976.08- )男，江蘇鹽城人，本科學歷，中學一級教師，主要從事高中數學教學與研究.

責任編輯：楊惠民]