活用等號(hào)，巧證不等式

林群雄

(福建省莆田第二中學(xué)，福建 莆田 351100)

活用等號(hào)，巧證不等式

林群雄

(福建省莆田第二中學(xué)，福建 莆田 351100)

不等式在高中數(shù)學(xué)，特別是在全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中的地位十分突出.本文通過不等式等號(hào)成立的條件，給出一類不等式更為簡(jiǎn)便的證明方法.

不等式；取等法；均值不等式；柯西不等式

不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，特別地，在全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中，不等式的證明顯得尤為重要.不等式的證明方法多，技巧強(qiáng).常用的不等式的證明方法有綜合法，分析法，放縮法與數(shù)學(xué)歸納法等.在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，常利用均值不等式，柯西不等式，排序不等式與琴聲不等式等來證明不等式.但對(duì)于某些含有等號(hào)的不等式的證明，尤其是含有等號(hào)的條件不等式的證明，常可采用“取等”的方法進(jìn)行證明.

例1 已知a>0,b>0，且a3+b3=2，求證：a+b≤2.

證明易知當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)，不等式取等號(hào)，結(jié)合三元均值不等式，

評(píng)析本例也容易由柯西不等式，或者構(gòu)造向量的方法，或者構(gòu)造二次函數(shù)的方法而得到證明.具體證明如下：

評(píng)注例1，例2，例3，要么“題設(shè)”的次數(shù)比“結(jié)論”的次數(shù)高，要么“結(jié)論”的次數(shù)比“題設(shè)”的次數(shù)高，考慮等號(hào)成立的條件，充分結(jié)合均值不等式，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)亟祪?，從而使問題迎刃而解.那么對(duì)于“題設(shè)”和“結(jié)論”的次數(shù)之間不存在明顯的高低關(guān)系的某些不等式問題，能否用“取等法”證明？

由柯西不等式，最后一個(gè)不等式顯然.

乍一看，這種通過等式證明不等式的“取等法”似乎有點(diǎn)“偷巧之嫌”，但細(xì)細(xì)玩味，發(fā)現(xiàn)如此“偷巧”，“偷”之有理，且用此“取等法”來證明一類不等式，還“屢見成效”.事實(shí)上，相等與不等是數(shù)學(xué)中的重要關(guān)系，他們之間是相互聯(lián)系互為轉(zhuǎn)化的，如果能恰當(dāng)?shù)亍㈧`活地巧用等號(hào)成立的條件，借助于“相等”的思想，把不等問題轉(zhuǎn)化為相等問題，往往能減少運(yùn)算量，給人耳目一新的思維體驗(yàn).

[1]楊學(xué)枝，數(shù)學(xué)奧林匹克不等式研究[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2009.

[2]沈文選，楊清桃.高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽結(jié)題策略代數(shù)分冊(cè)[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2012.

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1008-0333(2017)22-0028-02

林群雄(1984-)，男，漢族，福建莆田人，碩士研究生，中學(xué)數(shù)學(xué)二級(jí)，研究方向：中學(xué)競(jìng)賽數(shù)學(xué)教學(xué).

責(zé)任編輯：楊惠民]