數形結合，我的數學解題法寶

梁心如

(山東省壽光市第一中學2015級高二24班，山東 濰坊 262700)

數形結合，我的數學解題法寶

梁心如

(山東省壽光市第一中學2015級高二24班，山東 濰坊 262700)

結合高中生平時的解題經驗，概括數形結合方法的應用要注意雙向性、等價性和簡單性等基本原則，通過坐標系、構造、轉化幾種主要途徑作為應用數形結合的突破點.

數形結合；解題方法；變換

縱觀做過的高中數學題，巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題，可起到事半功倍的效果，尤其在解方程和解不等式問題中，在求函數的值域，最值問題中，在求復數和三角函數問題中，運用數形結合方法，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，可以大大提高做題的速度與正確率，對選擇題幾乎可以做到秒殺.數形結合的關鍵是“以形助數”.結合本人的解題經驗，概括數形結合方法的應用要注意雙向性、等價性和簡單性等基本原則，通過坐標系、構造、轉化幾種主要途徑作為應用數形結合的突破點.由數變形，由形變數，數形結合，動靜變換.

一、由數變形

由數到形在解題過程中一般根據不等式，作出不等式表示的區域，根據圖形得到問題的答案.

例1 已知：x,y∈R,且x2+y2+2y≤0，求證：

x2+y2+6x+8>0.

解析

在直角坐標系中，已知條件可以轉變為：x2+(y+1)2≤1，表示圓心在(0,-1)，半徑為1的圓面區域，求證式為：(x+3)2+y2>1，表示半徑為1，圓心為(-3,0)的圓外部.

從圖形可知：圓面x2+(y+1)2≤1上的點在圓(x+3)2+y2=1外部，那么得出：(x+3)3+y2>1,即x2+y2+6x+8>0.

二、由形變數

一般應用于求函數值域或某些系數的求解.

例2 已知函數f(x)=ax3+bx2+x(a，b∈R且ab≠0)的圖象如圖，且|x1|>|x2|，則有( )

A.a>0，b>0 B.a<0，b<0

C.a<0，b>0 D.a>0，b<0

分析由圖知函數f(x)有兩個極值點x1，x2．從而得導函數f′(x)=3ax2+2bx+1的圖象是開口向下、與x軸交于點(x1，0)、(x2，0)的拋物線.又由圖得a<0，從而可以判斷a，b，c的符號．

解由圖象可知：

x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f(x)↘極小值↗極大值↘f'(x)-0+0-

∴導函數f′(x)=3ax2+2bx+1的圖象是開口向下、與x軸交于點(x1，0)、(x2，0)的拋物線,

∴a<0，x1+x2=-2b/3a.

由x1<0，x2>0，且|x1|>|x2|知：x1+x2=-2b/3a<0，∴b<0.故選B.

三、數形等價

在高中數學解題時，應用數形結合，由形觀察數或由數構造圖，離不開“觀察”、“構造”，需要數形等價進行嚴格邏輯推理，防誤求優.

例3 方程x1/3=2sinx的實根個數是( )

A.3 B.7 C.5 D.9

解析應用圖象法，作函數圖：y=x1/3，y=2sinx.

兩函數為奇函數，只需要繪制x≥0部分就可以.

四、動靜轉換

在高中數學解題時，以動求靜，可以“動”觀點看待“靜”問題，將常數看作是變量的取值，靜止狀態是運動中的“瞬間”，也可以靜制動，用字母表示無限取值，用方程表示動點軌跡，用不等式描述變量極限趨勢，用函數反映事物關系.動靜轉換策略表現為不變量、定值探求、軌跡相交、式子變換、遞推法、局部調整法、交換法等.

例4 一個圓經過點B(5,6)，且與已知圓x2+y2-4x-8y+15=0相切于點A(3,6)，求圓的方程.

解析化靜為動，將點A(3，6)視為圓(x-3)2+(y-6)2=R2，當R→0的極限值，那么過圓(x-3)2+(y-6)2=R2與已知圓交點的圓方程為：

(x-3)2+(y-6)2-R2+λ(x2+y2-4x-8y+15)=0.

x2+y2-8x-16y+75=0.

上述數形結合是高中數學解題中經常用到的基本思想，在具體解題中需要具體問題具體分析，在對題目分析的基礎上，選擇恰當的解題方法才是解題正道，讓數學解題化易，化簡，化熟！

[1]張藝璇.關于高中數學幾何解題技巧之“數”“形”結合策略[J].亞太教育，2015(34).

G632

A

1008-0333(2017)22-0037-02

梁心如，女，山東壽光人，高中在校生.

責任編輯：楊惠民]