點差法在圓錐曲線中的應用探究

王躍梅

(江蘇省射陽縣高級中學，江蘇 鹽城 224300)

點差法在圓錐曲線中的應用探究

王躍梅

(江蘇省射陽縣高級中學，江蘇 鹽城 224300)

點差法，顧名思義，設點、作差，它是利用直線與圓錐曲線的交點，再將交點坐標代回原曲線方程，并將兩式相減，即可得到一個關于弦的中點及斜率的方程，利用該方程求解一些軌跡問題.在高中數學中，點差法主要用于圓錐曲線中如下的三類計算：1)中點弦軌跡求解問題；2)圓錐曲線軌跡求解問題；3)圓錐曲線定值定點問題.在本文中，我們將結合實際習題，對點差法的應用進行討論.

高中數學；點差法；數學思想

一、點差法在中點弦方程求解中的應用

綜上可知，所求的直線方程為x+2y-4=0.

點評針對中點弦方程的求解類問題，點差法是最有效的求解方式之一.本題屬于基礎類的中點弦方程求解問題，因為我們已經指明了點M位于橢圓內部，即可直接進行求解，無需再進行驗證.對于例題中所示的題型，只要給出曲線方程及某個定點的坐標，利用點差法即可實現求解.若將本題進行變化，將條件“橢圓”變成“雙曲線”，則需要重新進行考慮，需要對點的位置進行討論，滿足條件的直線可能不止一條，也可能不存在.在實際求解過程中，很多學生會忽視，從而功虧一簣.

二、點差法在圓錐曲線方程求解中的應用

點評從上述解題過程可以看出，點差法貫徹了設而不求的思想，設出直線與橢圓的交點坐標，卻并沒有直接求解，而是利用和與差的關系，將解題所需的計算盡量簡化，提高解題準確率.在點差法求解圓曲線方程的過程中，依然按照固定模式，設點、作差，導出斜率.在求解橢圓長短邊的平方值過程中，還是貫徹簡化計算的理念，圍繞弦直線的斜率、中點坐標這兩個關鍵，得到相應的關系式，利用關系式簡化求解，體現出了點差法求解的精髓.

三、點差法在圓錐曲線定值定點問題中的應用

例3 在拋物線y2=2px(p>0)上有兩點A、B，這兩點滿足關系OA⊥OB，其中O為坐標原點，求證：(1)A、B兩點的橫縱坐標之積都是一定值；(2)直線AB過定點.

點評本題利用點差法求解圓曲線中定值定點類問題，結合直線的斜率表達式，有效地簡化了計算過程，巧妙地避免了方程組求解的繁瑣步驟.由該例可以清晰地看出，點差法在求證定點定值類問題中，通過設點、作差兩步，即可實現清晰有效的求證，值得注意的就是將作差所得條件向欲證信息的靠攏上，尋求合適的簡化方法，得到準確的表達形式.

總之，點差法在圓錐曲線中的應用十分廣泛，上述三類應用只是較為典型的案例而并非全部.點差法在弦中點證明、判斷兩點關于某一弦對稱及弦的垂直平分線等眾多方面均有著廣泛的應用.在點差法中，這種設而不求的數學理念值得我們一線教師進行推廣發揚.

[1]陳國輝.用點差法解圓錐曲線的弦中點問題[J].數理化解題研究，2016(01).

[2]楊亢爾.“點差法”在中點弦問題中的“意外”[J].數理化解題研究，2012(03).

G632

A

1008-0333(2017)22-0027-03

王躍梅(1976.05- )女，江蘇徐州人，本科學歷，中學一級教師，主要從事高中數學教學與研究.

責任編輯：楊惠民]