多元函數的微分及其應用

李晶平

(天津師范大學數學科學學院，天津 300387)

多元函數的微分及其應用

李晶平

(天津師范大學數學科學學院，天津 300387)

以一元函數為例擴展到多元函數,討論多元函數的全微分,自變量由空間的直線、平面擴展到空間球域.了解全微分后，討論偏導數的定義及微分和偏導數的關系.多元函數的隱函數是多元函數微分的重要部分,其中會用到偏導數.由多元函數的一階泰勒公式,引出了應用廣泛的Hessian矩陣,從而也導出多元函數的多階泰勒公式.

偏導數;隱函數;泰勒公式

求多元函數偏導數的方法與一元函數求導方法相類似，只要將n個自變量中的某一個看作變量,其余n-1個看成常量然后對其進行求導便可.多元函數的隱函數可通過雅克比矩陣的非奇異性給出隱函數存在性定理，再由映射知識可推出m個m+n元函數的隱函數.

一、多元函數的全微分

Δy=f(X0+ΔX)-f(X0)=lX0(ΔX)+ο(‖ΔX‖).

(1)

Δy-ο(‖ΔX‖)=dy=lX0(ΔX)=A(Δx1,Δx2,…,Δxn)T=a1Δx1+…+anΔxn.

二、多元函數的偏導數

有時也可記作yxi′或fxi′.求多元函數偏導數的方法與一元函數求導方法相同,將n個自變量中的某個看作變量,其余n-1個看作常量,然后對它進行求導.

注：上述定理的逆定理不成立,可微能推出偏導數存在,但偏導數存在不能確定函數是否可微.

三、多元函數的隱函數

一元函數解析表達式有顯示和隱式兩種,設D和E為R的兩個區域,二元函數f(x,y)在D×E上有定義,若是對于任意一點x∈D,存在唯一一個y∈E使得f(x,y)=0,這樣我們就說方程f(x,y)=0確定了一個由D到E的隱函數,或者說由f(x,y)=0,可解出y=u(x),即f(x,u(x))=0,?x∈D.同理,對多元函數來說有時也可用方程F(x1,x2,…,xn,y)=0來確定隱函數.但是每個多元函數它們都存在隱函數嗎，若存在隱函數又該滿足什么條件，下面將給出隱函數存在的定理.

四、多元函數的泰勒公式

設n元函數y=f(X)=f(x1,x2,…,xn)在點X0可微，則在點X0附近的y可表示為

f(X)=f(X0)+f(X0)·ΔX+ο(‖ΔX‖)，

其中ΔX=X-X0,f(X0)=(…,

1.多元函數的一階泰勒公式

(3)

其中X=X0+ΔX,ΔX=(Δx1,Δx2,…,Δxn)T,

則(3)式稱為一階泰勒公式,H為f的Hessian矩陣.

2.多元函數的多階泰勒公式

例求f(x,y)=xy在點(1,4)的二階Taylor公式,并用它計算(1.08)3.96.

解fx(x,y)=yxy-1,fy(x,y)=xylnx,fx2(x,y)=y(x,y)xy-2,fy2(x,y)=xy(lnx)2.

將上面的式子代入泰勒公式后,xy=1+4(x-1)+6(y-1)+6(x-1)2+(x-1)(y-4)+ο(ρ2).

略去余項后令x=1.08,y=3.96,則有(1.08)3.96≈1+4×0.08+6×(1.08)2-0.08×0.04=1.3552.

本文探討了多元函數的微分及其應用,從多元函數的全微分開始,研究了其偏導數和高階偏導數與微分的關系.通過研究其偏導數引出多元函數的隱函數,進而將其隱函數廣泛應用到幾何問題求解中.通過多元函數的泰勒公式,能更好地解決復雜函數,更能為復雜計算提供良好方法.

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京:高等教育出版社,2010.

[2]馬富民,高文杰.數學分析(第二冊)[M].北京:高等教育出版社,2005.

G632

A

1008-0333(2017)22-0010-02

2017-06-01

李晶平(1992.9-)，女，漢族，山西忻州人，研究生在讀,助教，從事科學技術史.

責任編輯：楊惠民]