構造思想在數學分析中的應用

張利紅

(天津師范大學數學科學學院，天津 300387)

構造思想在數學分析中的應用

張利紅

(天津師范大學數學科學學院，天津 300387)

本文主要介紹了構造思想方法的含義及構造思想在數學分析中的作用：如通過構造實例來論證某些判斷或命題成立與否;通過構造恰當函數,應用根的存在定理證明與中間值有關的等式,應用函數單調性證明不等式;構造特殊區域上的函數來證明一般區域上的函數具有的相關性質;在積分學中通過構造對稱性來簡化積分問題的計算.以上構造思想在數學分析當中的應用加深了我對數學分析理論的理解,也認識到這種思想的重要性.

構造反例;構造函數;構造區域;構造對稱

一、構造思想方法

1.構造思想方法的概念

構造思想方法是通過“構造”來建立數學理論,根據題設條件或結論所具有的特征、性質,構造出滿足條件和結論的數學模型,借助此模型解決數學問題的重要數學思想方法之一.

2.運用構造思想方法的條件

在學習數學分析這門課程中,當有的結論難以直接表達時,需要借助一定的條件才能轉化到結論,于是就可以利用數學問題的特殊性,進行新的關系結構的設計.這種方法不是直接解決問題,而是構造一個與原來問題有關或等價的新問題間接地解決.

二、構造反例的思想在數學分析中的應用

1.構造反例的作用

在數學分析中,命題判斷的題目很多,從理論上去直接證明命題是否正確,往往難以找到突破口,若能構造一個反例,說明命題不成立,問題便得到解決.構造反例的過程,是使我們對數學分析理論理解逐步加深的過程,使我們的數學能力逐步提高的過程.

2.構造反例的應用舉例

例1 判斷正誤:無界數列與無界數列的積仍為無界數列.

三、構造函數

1.在數學分析中構造函數的作用

在數學分析中構造出有利解決問題的輔助函數,往往能使很多復雜問題難度降低,利用輔助函數的性質和定理進行求解,開拓了思維,進而在解題或問題證明中取得事半功倍的效果.構造輔助函數的思想是數學分析中重要數學思想之一.

2.構造函數的應用舉例

(1)構造函數應用根的存在定理證明等式

這種方法的關鍵是如何根據已知條件和結論的特點構造符合根的存在定理的函數,從而應用根的存在定理.應該利用三步法：(1)結論移向變形;(2)換變量;(3)構造新函數.

例2 設函數f(x)在[0,2a]上連續,且f(0)=f(2a).證明:存在點x0∈[0,a],使得f(x0)=f(x0+a).

證明令F(x)=f(x)-f(x+a),由于f(x)在[0,2a]上連續,所以f(x+a)在[0,a]上連續,所以F(x)在[0,a]上連續.又F(0)=f(0)-f(a),F(a)=f(a)-f(2a)=f(a)-f(0),若f(0)=f(a),則取x0=0,a;若f(0)≠f(a),則F(0)=-F(a),

∴F(0)·F(a)<0.

由根的存在定理,存在x0∈(0,a),使得F(x0)=0,即f(x0)=f(x0+a).

綜上,存在點x0∈[0,a],使得f(x0)=f(x0+a).

(2)構造函數證明積分不等式問題

在一些既有積分也有函數的不等式證明題中,由于成分復雜,直接計算或是找他們之間的聯系是很困難的,往往通過構造函數,把不等號兩邊看是無關的式子聯系起來,使得問題得到巧妙地解決.證明不等式的一般思路(三步法):

(1)移向變形;

(2)換變量;

(3)構造函數.

然后再根據函數的單調性證明不等式.

F(a)=0.

F′(x)=M(x-a)±f(x)=M(x-a)±[f(x)-f(a)]

=M(x-a)±f′(ξ)(x-a)=[M±f′(ξ)](x-a),

其中ξ∈(a,x).

又∵|f′(x)|≤M,

∴F′(x)≥0,∴F(x)在[a,b]上單調遞增.

又F(a)=0,

∴?x∈[a,b],F(x)≥0.

(3)延拓函數定義域構造函數使復雜問題得以簡化

分析由函數的一條性質:若函數f(x)在[a,b]上連續,則f(x)在[a,b]上一致連續.可以將證明f(x)在(a,b)上一致連續轉化為f(x)在[a,b]上連續.

則F(x)在[a,b]上連續,從而在[a,b]上一致連續,∴f(x)在(a,b)上一致連續.

四、構造對稱

1.構造對稱的作用

構造對稱,就是要添加一些不與題設矛盾的條件,使之具有對稱性，充分利用對稱性解決問題.該方法在數學分析微積分中經常使用,掌握好它,有時能避開很多繁瑣的計算.比如構造對稱形式的積分建立方程組求解就是常見的應用,充分體現了構造對稱計算積分的優勢.

2.構造對稱的應用舉例

在數學分析中,構造思想是一種極其重要的解題思想.運用構造思想方法解題時,要對題目全面分析,從中發現可用構造的因素,并借助與之相關的知識構造所求問題的具體形式,或是與其等價的新問題,再解出所構造的問題,從而使原題目獲得解答.就構造的對象而言,其表現形式多樣,沒有完全固定的模式.除了以上介紹的方法外,還有構造三角模型、構造集合等方法.因此,運用構造思想方法解題,需要掌握牢固的基礎知識,熟練的技能技巧,而且還應具有發散思維能力,綜合運用各方面知識的能力.構造思想法沒有很固定的模式,它很靈活,不死板.因此,這種解題方法的操控空間性及思維創造性較大.當然文中介紹的方法畢竟有限,筆者只是從個人方面談了自己對構造思想的認識及理解,敬請各位讀者批評指正.

[1]劉良華.數學構造思想方法的探索與實踐[D].華中師范大學,2004.

[2]丁文敏.構造法的數學思想及其運用[J].南陽農業職業學院學報,2014.

[3]李志飛.羅爾定理應用中輔助函數的構造[J].西安建筑科技大學理學院學報,2006.

G632

A

1008-0333(2017)22-0008-02

2017-06-01

張利紅(1991.8-),女,漢族,河北張家口人,研究生在讀,助教,從事科學技術史.

責任編輯：楊惠民]