基于建構主義的高中數學教學設計案例及分析

廖婷+庫在強

【摘要】建構主義理論作為一種全新的認識論論，在知識觀、學習觀、教學觀等方面對教師提出了新的要求。目前許多研究者基于建構主義理論提出了一系列教學設計，但很少具體到數學實際課堂。基于這一現狀，本文把研究重點放高中數學教學設計和教學實施過程上，提出知識是學生主動建構的過程、創設情景是教學的重要環節、合作交流是學習的重要方式等教學啟示，并由此給出具體的高中數學必修5二元一次不等式（組）與平面區域的教學設計案例及分析。

【關鍵詞】建構主義；高中數學；教學設計；案例

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）07-0253-02

一、建構主義學習理論的主要觀點及教學啟示

建構主義學習理論的主要觀點：（1）知識觀。建構主義強調知識不是主體對客體簡單、被動的反映，而是主體通過已有的知識經驗為依托進行積極主動的建構過程。這就要求教師在教學中充當輔導者、引導者、合作者，將課堂還給學生，讓學生成為學習的主人；（2）學習觀。建構主義強調人的知識本質是主體的“構造”過程。這意味學生在學習中，往往是以原有的知識經驗和認識結構為基礎，對新知識進行編碼，而這個過程中需要學生獨立思考，必要的時候還需要老師的指導；（3）教學觀。建構主義認為教師不是簡單地將知識呈現或傳遞給學生，而是促進、幫助學生主動建構的過程。這就要求教師創設一個有利于學生知識建構的學習環境，以支持和幫助學生建構知識，從而激發學生學習興趣。

建構主義學習理論對高中數學教學的啟示：（1）知識是學生主動建構的過程。在治學求進的過程中，教師首先要讓學生感受到他們才是學習的主人，尊重不同學生的情感、思維、興趣、愛好，允許學生對問題的不同看法。學生只有在身心自由時，才有可能進行自主學習，進而養成自主學習的習慣，最后讓學生掌握建構知識的學習方法。（2）創設情景是教學的重要環節。在創設教學情景中，教師首先考慮學生的實際情況，其次是注意情景的真實性、可接受性、誘發性、層次性，最后創設出一系列吸引學生的教學情景，如信息情景、生活情景、懸念情景等。（3）合作交流是學習的重要方式。在合作交流的過程中，就要求教師合理建組、科學分工。

二、建構主義學習理論下高中數學微課教學設計案例及分析

下文以“二元一次不等式（組）與平面區域”一節的教學設計為例，從實際現實情景中抽象出數學模型，引發一系列學生感興趣的問題。在整個課堂中，教師注重學生原有的認知水平，引導學生主動學習，并積極參與課堂探索過程中，培養學生之間良好的合作精神。

1.創設情景，引出課題

通過PPT課件展示：牛奶和果汁。媽媽希望明明多喝牛奶，以保證每天充足的營養，但明明更喜歡喝果汁，為了讓媽媽放心明明的營養問題，又讓明明可以喝上果汁，一起對營養早餐做一個合理的安排。

設計意圖：教師提出的問題是現實生活中的真實生活情景，幫助學生進行主動建構知識。

牛奶、果汁中都含有兩種重要的營養元素M、N元素，每立方分米牛奶中含有營養素M、N分別是2mg、1mg，每立方分米果汁中含有營養素M、N分別是1mg、2mg，成人每天需要的M元素為12mg，每天需要的N元素為18mg，每天喝多少立方分米牛奶和果汁才能滿足營養要求？

設每天喝牛奶和果汁各x、y（x、y屬于正整數）立方分米，才能滿足營養要求。

則：

求解二元一次方程組（方法：代入消元法、加減消元法）。

變式：如果明明每天需要的M元素不少于12mg，每天需要的N元素為不多于18mg，又有什么樣的式子呢？

，等價于：

設計意圖：充分考慮學生認知水平，設計從二元一次方程（組）到二元一次不等式（組）的過渡。總結得出：含有兩個未知數，且未知數的次數是1的不等式稱為二元一次不等式，且由幾個二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組[7]。

2.知識回顧，探索方案

一元一次不等式（組）的解集可以表示為數軸上的區間，那么二元一次不等式（組）的解集該如何表示呢？

引導學生發現：滿足二元一次不等式（組）的x和y的取值構成有序數對（x，y），而有序數對（x，y）與平面直角坐標系內的點一一對應。

設計意圖：引導學生利用數形結合的思想，求解二元一次不等式（組）。

3.歸納探究，形成概念

首先探究2x+y-12≥0在平面直角坐標系內的圖形表示。為了解決這個問題，先研究2x+y-12=0在平面直角坐標系中的圖形表示。

如圖1，在平面直角坐標系中，2x+y-12=0表示一條直線，平面內的點被直線2x+y-12=0分成3類：在直線2x+y-12=0上的點；在直線2x+y-12=0右上方的區域內的點；在直線2x+y-12=0左下方的區域內的。

滿足2x+y-12>0的點有哪些？在直角坐標系中任意取一點代入2x+y-12，會有怎樣的猜想？

圖1直線的示意圖；圖2直線右上方任意點；圖3不等式組表示的平面區域。

猜想：2x+y-12>0表示2x+y-12=0右上方點組成的平面區域。

設計意圖：由于直線將整個坐標平面僅分為兩個區域，因此只需要在平面中任取一點帶入不等式左邊的表達式，判斷與0的大小關系，進而得出猜想，以便自然過渡猜想的證明。

證明：2x+y-12>0表示2x+y-12=0右上方點組成的平面區域。

如圖2，在2x+y-12=0右上方任取一點P（x，y1），過點P作平行與y軸的直線交直線2x+y-12=0于A（x，y2），則y1>y2，

∵2x+y1-12-（2x+y2-12）=y1-y2>0。endprint

∴2x+y-12>0表示2x+y-12=0右上方點組成的平面區域。

證明發現，只需要取一個點就可以判斷不等式所表示的區域。最后進一步得出結論：

結論一：線定界。一般地，在平面直角坐標系中，二元一次不等式Ax+By+Cy>0表示直線Ax+By+C=0某一側所有點組成的平面區域，此時直線畫成虛線，表示區域不包括邊界，不等式Ax+By+Cy≥0表示平面區域包括邊界，把邊界畫成實線。

結論二：特殊點定界。在二元一次不等式中，當常數C不等于0時，可以取特殊點原點（0，0），代入不等式中，判斷不等式表示的區域。

設計意圖：通過證明得出二元一次不等式（組）表示的平面區域的作圖方法，進一步使學生回憶思考作圖過程，深刻理解結論1、2，從而突破本節課的難點。

1.前后呼應，解決問題

掌握了二元一次不等式表示的平面區域，那么二元一次不等式組表示的平面區域呢？

分析：由于所求平面區域點的坐標同時滿足四個不等式，因此二元一次不等式組表示的平面區域是各個不等式表示的平面區域的交集，即各個不等式表示的平面區域的公共部分。

設計意圖：通過類比一元一次不等式（組）解的表示方法，發現二元一次不等式組表示的平面區域也是各個不等式表示的平面區域的交集，更加易于理解和記憶。

課前實際問題，解題步驟如下：

解：不等式2x+y-12≥0表示的是直線2x+y-12=0右上方的區域，不等式x+2y-18≤0表示的是直線x+2y-18=0左下方的區域，不等式x≥0表示x軸上方的區域，不等式y≥0表示y軸右方的區域，取四個區域重疊的部分，如圖3中陰影部分（整點坐標）就表示原不等式的解集。明明每天喝的牛奶和果汁只要控制在陰影區域，就可以達到營養要求。

設計意圖：呈現實際問題的解題步驟，有利于學生注意解決同類問題解題步驟。

多個不等式表示的區域，如何不重不漏的表示出來？

采用先畫出邊界，然后再利用方向箭頭來表示該不等式表示的區域，最后確定公共部分。這種方法又快又準，且不容易出錯。

設計意圖：引導學生發現解決問題的便捷方法，有利于培養學生的創新精神。

1.拓展知識，鞏固發展

明明通過閱讀報紙，發現牛奶和果汁中含有一種特殊的營養元素Q，每立方分米的牛奶和果汁中含有Q營養元素分別是3mg、2mg，問每天喝多少立方分米果汁和飲料，才能吸收最多的Q營養元素？

設計意圖：該題是在課前實際問題的基礎上提出來的，屬于最優化問題，為下一節簡單的線性規劃問題做鋪墊。在授課中教師可提醒學生通過預習下一節內容，就可以解決這個問題。此設計有利于讓學生感受知識的連貫性和挑戰性。

1.歸納小結，作業布置

通過本節課的學習，引導學生構建本節課所學知識點，并根據學生的實際情況布置必做題和選做題，具體作業如下：

必做題：課本習題3.3A組第1題，B組第1題。

選做題：請畫出下列不等式組所表示的平面區域，若實數x、y滿足不等式

設計意圖：課堂小結有利于幫助大部分學生梳理本節課所學知識點，以及引導個別成績較差的學生說出心中疑惑。作業布置中的必做題和選做題的形式，幫助不同學習層次的學生達到自我的學習目標。

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.新課標高中數學課程標準[M].北京：人民教育出版社，2016.endprint