向量在中學數學中的應用

向量是中學數學最基本的概念之一，在中學數學中則是溝通幾何，代數，三角等內容的橋梁.具有豐富的實際背景和廣泛的應用.

目前，向量已作為必學內容增添到高考數學新教材中，它豐富了中學數學結構體系，進一步拓寬了解決中學數學問題的思維空間.利用向量的理論和方法，可以有效地解決幾何、代數、三角、復數以及物理學中諸如力、速度、加速度等問題。向量兼具代數的抽象嚴謹和幾何的形象直觀，它本身就是一個數形結合的產物.

正是由于這部分知識是新增的教學內容，教學上還需要一個逐步與傳統教學內容相融合的過程.因此本文就向量的各種用途，與其他知識點的交匯，作一探討，以便溝通新概念新方法與傳統教學內容之間的聯系.

1、向量在立體幾何中的應用

例1如圖1，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，已知AB= 4，AD=3，AA1= 2. E、F分別是AB、BC上的點，且EB= FB=1.

圖1

（1）求二面角C—DE—C1的正切值；

（2）求直線EC1與FD1所成的角的余弦值.

解析：在較規則的立體圖形中運向量的坐標求解相關問題很簡便，在很多時候不很找到二面角的平面角，距離，夾角，但是用向量坐標求解就避免了求作過程。

2、向量在不等式中的應用

例2 已知a>b>c>d，求證：.

證明 由已知顯然有：a-b>0， b-c>0， c-d>0， a-d>0.

構造向量：

又 得

在不等式的應用中，主要是通過利用向量的相關性質來構造向量，使得條件與結論明朗化，解題步驟一目了然.

3、向量在三角函數中的應用

例3 證明公式：cos（α - β ）=cosαcosβ+sinαsinβ.

分析：觀察右邊的等式結構，可以聯想到平面向量的數量積，這樣就啟發我們可以構造兩個單位向量，它們的夾角為α - β.

證明 如圖2，在單位圓上任取兩點A，B，設以OX軸為始邊，OA，OB為終邊的角分別為α， β，則向量

又.

圖2

由于三角函數本身與平面幾何有著不可分割的聯系，而平面向量又恰好具有這樣的性質，所以利用平面向量解三角函數題非常簡便自如.

4、向量在數列中的應用

例4 給定正整數n和正數M，對于滿足條件的所有等差數列試求的最大值.

解 由題意得：又

由，

得

當，且時上式取等號，解得

5、向量在求無理函數最值中的應用

例5 已知，求函數的最小值.

解 根據函數式的結構聯想到向量加法法則，于是構造向量

由 ，

得

當且僅當，即 時，y取最小值.

高中數學新教材引入向量的目的是以這一有力工具來研究數量問題，用向量知識求解一類無理函數最值問題，方法新穎，運算簡捷.

小結

平面向量進入中學數學，極大的豐富和發展了中學數學結構體系，向量知識結構嚴謹，體系優美，運用簡捷而又利落，思維明快又富有創新，極易與其它主干知識自然融合，成為新課知識的新的結合點.

作者簡介：章拔毅（1981.07.01）畢業于延安大學，2005年9月于鎮坪中學任教，論文多次在安康市獲獎與交流，2008年被評為市級教學能手。endprint