離散數學的代數系統理論在密碼學中的應用

【摘要】本文分析了離散數學中的代數系統理論與密碼學課程之間的關系，闡述了離散數學在密碼學領域的實際應用。

【關鍵詞】離散數學 ； 密碼學 ； 教學

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2015）7-0250-02

一、引言

離散數學是計算機專業的基礎課，為計算機專業的后續課程提供專業的數學理論基礎。該課程可以全方位培養學生的抽象思維能力和解決實際問題的能力，為學生學習其它專業課程建立數學的思想。

該課程包括數理邏輯、集合論、代數系統、圖論四個大部分。每個部分與數據結構，數據庫，人工智能，數字邏輯，編譯原理等課程都密切相關。

本文我們將闡述離散數學中的代數系統理論部分與密碼學的相關性，并且分析該理論在密碼學領域的若干應用。

二、代數系統理論與密碼學的相關性及在密碼學的應用

離散數學中的代數系統理論包括代數系統的一些基本概念、半群與獨異點、群、環與域、格與布爾代數。代數系統與密碼學聯系非常緊密，為密碼學提供非常重要的數學基礎。現將代數系統理論在密碼學中的若干應用列舉如下：

密碼學中，凱撒密碼是一種最簡單且最廣為人知的加密技術，是一種簡單的基于替換原理的加密技術。凱撒密碼將明文中的所有字母都在字母表上向后（或向前）按照一個固定數目進行偏移后被替換成密文，其中固定數目的偏移量為加解密密鑰。例如當偏移量為3，字母A將被替換成D，B變成E，其它的字母按此規則類推。在代數系統理論中群是一種典型的代數系統，具有封閉性、可結合性、含單位元以及每個元素都有逆元等性質。從本質上來說凱撒密碼就是一個特殊的群，是建立在26個字母之上，字母與密鑰進行運算的剩余模群。通過對于群理論的學習可以幫助學生更好的理解凱撒密碼的本質。

在密碼學中有一個重要的公鑰加密算法的RSA，該算法是目前最安全的公鑰加密算法，可以抵抗目前已知的絕大多數密碼攻擊。數論中的費馬小定理為RSA提供數學上的安全性保證。通過對于費馬小定理的原理和正確性的理解可以更好的理解RSA算法的安全性，在實際中更好地使用RSA算法。

在密碼學中的橢圓曲線密碼是基于橢圓曲線的一種公鑰密碼算法，該密碼安全性基于橢圓曲線離散對數的困難性上，是一個有限域上橢圓曲線的阿貝爾群。對于在代數系統理論中群和域的概念以及性質進行認真學習和理解可以用于橢圓曲線密碼的學習。

三、離散數學在計算機其他學科中的應用

離散數學在計算機研究中的作用越來越大，計算機科學中普遍采用離散數學中的一些基本概念、基本思想、基本方法，使得計算機科學越趨完善與成熟。離散數學在計算機科學和技術中有著廣泛應用，除了在上述提到的領域中發揮了重要作用外，在其他領域也有著重要的應用，如離散數學中的數理邏輯部分在計算機硬件設計中的應用尤為突出，數字邏輯作為計算機科學的一個重要理論，在很大程度上起源于離散數學的數理邏輯中的命題與邏輯演算。利用命題中各關聯詞的運算規律把由高低電平表示的各信號之間的運算與二進制數之間的運算聯系起來，使得我們可以用數學的方法來解決電路設計問題，使得整個設計過程變得更加直觀，更加系統化。集合論在計算機科學中也有廣泛的應用，它為數據結構和算法分析奠定了數學基礎，也為許多問題從算法角度如何加以解決提供了進行抽象和描述的一些重要方法，在軟件工程和數據庫中也會用到。代數結構是關于運算或計算規則的學問，在計算機科學中，代數方法被廣泛應用于許多分支學科，如可計算性與計算復雜性、形式語言與自動機、密碼學、網絡與通信理論、程序理論和形式語義學等，格與布爾代數理論成為電子計算機硬件設計和通訊系統設計中的重要工具，圖論對開關理論與邏輯設計、計算機制圖、操作系統、程序設計語言的編譯系統以及信息的組織與檢索起重要作用，其平面圖、樹的研究對集成電路的布線、網絡線路的鋪設、網絡信息流量的分析等的實用價值顯而易見。

四、結束語

通過上面的分析，我們可以發現離散數學中的代數系統理論在密碼學領域的作用非常重要，離散數學不僅是計算機技術迅猛發展的支撐學科，更是提高學生邏輯思維能力、創造性思維能力以及形式化表述能力的動力源，離散數學課程所傳授的思想和方法，廣泛地體現在計算機科學技術及相關專業的諸領域，從科學計算到信息處理，從理論計算機科學到計算機應用技術，從計算機軟件到計算機硬件，從人工智能到分布式系統，無不與離散數學密切相關。在現代計算機科學中，如果不了解離散數學的基本內容，則在計算機科學中就寸步難行了。

參考文獻

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作者簡介：劉文（1982.8-），女，湖南湘潭人，博士，漢族，中國傳媒大學，副教授，主要研究領域信息安全。endprint