淺談中學數學教學中的反證法

劉青

摘要：反證法是中學數學中常用的一種證明方法，在應用反證法的過程中要根據命題的性質進行推理論證。其基本的思路就是假設所要證明的結論不成立，再在這個假定條件下進行邏輯推理，得出一個矛盾結論。

關鍵詞：中學數學 反證法 證明

中圖分類號：G633.6

反證法是數學中常見的一種證明方法，它與一般證明方法不同，反證法又可分為歸謬反證法和窮舉反證法兩種。當命題的結論的反面只有一種情況，只要推翻這一種情況就能肯定結論，這種反證法叫歸謬法；當命題的結論的反面不只一種情況，則需要將反面情況一一推翻才能肯定結論，這種反證法叫窮舉法。那么反證法的理論根據是什么？反證法是否就是證明原命題的逆否命題？怎樣應用反證法？怎樣的命題適合用反證法證明？本文擬就這些問題做初步探討。

1.反證法的定義

反證法是從反面的角度思考問題的證明方法，屬于“間接證明”的一類，即肯定題設而否定結論，從而導出矛盾，推理而得。

不妨設原命題為 是推出結論，s一般是條件、某公理、定義、定理或臨時假設，用數學術語可以簡單地表示為： 即 。

2.反證法的基本思路

首先假設所要證明的結論不成立，然后再在這個假定條件下進行一系列的正確邏輯推理，直至得出一個矛盾的結論來，并據此否定原先的假設，從而確認所要證明的結論成立，這里所說的矛盾是指與題目中所給的已知條件矛盾，或是與數學中已知定理、公理和定義相矛盾，還可以是與日常生活中的事實相矛盾，甚至還可以是從兩個不同角度進行推理所得出的結論之間相互矛盾（即自相矛盾）。

3.反證法的一般步驟

首先假設命題的結論不成立，其次從這個假設出發，經過推理論證得出矛盾，最后由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確。

第一步：審題，弄清命題的前提和結論；

第二步：否定原命題，由假設條件及原命題構成推理的基礎；

第三步：由假設出發根據公理、定義、定理、公式及命題的條件，正確邏輯推理，導出邏輯矛盾；

第四步：肯定原命題的正確性。

4.反證法的應用

反證法從否定命題的結論開始，然后推出矛盾，這就給證明原命題增加了條件。因此，如果“結論反面”較“結論”更具體、更簡單，而直接證明又好下手，則可考慮應用反證法，具體來說，究竟什么樣的命題用反證法證明比較方便呢？可歸納如下幾個方面：

需要注意的是，我們只有用反證法證明一個正確的命題時才能導致矛盾，如果用反證法證明一個顯然不成立的命題，在證明的過程中就不會產生矛盾。所以，我們應用反證法時，只要待證命題正確，只要推理正確，就一定會導致矛盾的出現，否則，不是待證命題錯誤，就是我們的推理有錯誤，本文就反證法的定義、邏輯原理、證明模式，以及解題的方法來說明反證法在中學數學中的應用，使大家對反證法有了更深刻的了解。

參考文獻：

[1]趙雄輝.證明的方法[M].湖南：湖南人民出版社，2001：85-92.

[2]廉蒙.巧用反證法證明代數題[J].北京：思路·方法·技巧，2004.endprint